AIME I năm 2022

Đa thức bậc hai $P(x)$ và $Q(x)$ có hệ số dẫn đầu lần lượt là $2$ và $-2,$. Đồ thị của cả hai đa thức đi qua hai điểm $(16, 54)$ và $(20, 53).$ Tìm $P(0) + Q(0).$

Tìm số nguyên dương có ba chữ số $\underline{a}\,\underline{b}\,\underline{c}$ có biểu diễn trong cơ số chín là $\underline{b}\,\underline{c}\,\underline{a},$ trong đó $a,$ $b,$ và $c$ là các chữ số (không nhất thiết phải khác biệt).

Trong các hình cân hình thang $ABCD,$ các đáy song song $\overline{AB}$ và $\overline{CD}$ lần lượt có độ dài $500$ và $650,$ và $AD = BC = 333.$ Các đường phân giác của $\angle A$ và $\angle D$ cắt nhau tại $P,$ và các đường phân giác của $\angle B$ và $\angle C$ cắt nhau tại $Q.$ Tìm $PQ.$

Đặt $w = \frac{\sqrt{3} + \mathrm{i}}{2}$ và $z = \frac{-1 + \mathrm{i}\sqrt{3}}{2},$ trong đó $\mathrm{i} = \sqrt{-1}.$ Tìm số cặp có thứ tự $(r, s)$ của các số nguyên dương không vượt quá $100$ thỏa mãn phương trình $\mathrm{i} \cdot w^r = z^s.$

Một con sông thẳng rộng $264$ mét chảy từ tây sang đông với tốc độ $14$ mét mỗi phút. Melanie và Sherry ngồi ở bờ nam sông với Melanie cách Sherry một khoảng $D$ mét về phía hạ lưu. So với mặt nước, Melanie bơi với tốc độ $80$ mét mỗi phút và Sherry bơi với tốc độ $60$ mét mỗi phút. Cùng lúc đó, Melanie và Sherry bắt đầu bơi theo đường thẳng đến một điểm ở bờ bắc con sông cách đều vị trí xuất phát của họ. Hai người phụ nữ đến thời điểm này cùng một lúc. Tìm $D.$

Tìm số cặp số nguyên có thứ tự $(a, b)$ sao cho dãy $$
3, 4, 5, a, b, 30, 40, 50
$$ tăng nghiêm ngặt và không có tập hợp bốn số hạng (không nhất thiết phải liên tiếp) tạo thành một cấp số cộng.

Đặt $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ $e,$ $f,$ $g,$ $h,$ $i$ là các số nguyên riêng biệt từ $1$ đến $9.$ Giá trị dương tối thiểu có thể có của $$
\frac{a \cdot b \cdot c - d \cdot e \cdot f}{g \cdot h \cdot i}
$$ có thể được viết là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$

tam giác đều $\triangle ABC$ nội tiếp đường tròn $\omega$ có bán kính $18.$ Đường tròn $\omega_A$ tiếp xúc với các cạnh $\overline{AB}$ và $\overline{AC}$ và tiếp tuyến nội bộ với đường tròn $\omega.$ $\omega_B$ và $\omega_C$ được định nghĩa tương tự. Các vòng tròn $\omega_A,$ $\omega_B,$ và $\omega_C$ gặp nhau ở sáu điểm — hai điểm cho mỗi cặp vòng tròn. Ba điểm giao nhau gần nhất với các đỉnh của $\triangle ABC$ là các đỉnh của tam giác đều lớn bên trong $\triangle ABC,$ và ba điểm giao nhau còn lại là các đỉnh của tam giác đều nhỏ hơn bên trong $\triangle ABC.$ Độ dài cạnh của tam giác đều nhỏ hơn có thể được viết là $\sqrt{a} - \sqrt{b},$ trong đó $a$ và $b$ là số nguyên dương. Tìm $a + b.$

Ellina có mười hai khối, mỗi khối có hai khối màu đỏ ($\textbf{R}$), xanh lam ($\textbf{B}$), vàng ($\textbf{Y}$), xanh lục ($\textbf{G}$), cam ($\textbf{O}$) và tím ($\textbf{P}$). Gọi sự sắp xếp các khối là *chẵn* nếu có số khối chẵn giữa mỗi cặp khối cùng màu. Ví dụ: sự sắp xếp $$
\textbf{R B B Y G G Y R O P P O}
$$ là chẵn. Ellina sắp xếp các khối của mình thành một hàng theo thứ tự ngẫu nhiên. xác suất mà sự sắp xếp của cô ấy là chẵn là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$

Ba hình cầu có bán kính $11,$ $13,$ và $19$ tiếp xúc với nhau ở bên ngoài. Một mặt phẳng cắt các quả cầu theo ba vòng tròn bằng nhau có tâm lần lượt là $A,$ $B,$ và $C,$, đồng thời tâm của các quả cầu đều nằm trên cùng một phía của mặt phẳng này. Giả sử rằng $AB^2 = 560.$ Tìm $AC^2.$

Giả sử $ABCD$ là hình bình hành với $\angle BAD \lt 90^\circ.$ Một đường tròn tiếp xúc với các cạnh $\overline{DA},$ $\overline{AB},$ và $\overline{BC}$ cắt đường chéo $\overline{AC}$ tại các điểm $P$ và $Q$ với $AP \lt AQ,$ như được hiển thị. Giả sử rằng $AP = 3,$ $PQ = 9,$ và $QC = 16.$ Sau đó, diện tích của $ABCD$ có thể được biểu thị dưới dạng $m\sqrt{n},$ trong đó $m$ và $n$ là số nguyên dương và $n$ không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào. Tìm $m + n.$

Đối với bất kỳ tập hợp hữu hạn nào $X,$ hãy để $|X|$ biểu thị số phần tử trong $X.$ Xác định $$
S_n = \sum |A \cap B|,
$$ trong đó tổng được lấy trên tất cả các cặp có thứ tự $(A, B)$ sao cho $A$ và $B$ là các tập con của $\{1, 2, 3, \ldots, n\}$ với $|A| = |B|.$ Ví dụ: $S_2 = 4$ vì tổng được lấy trên các cặp tập con $$
\begin{aligned} &(A, B) \in {}\\ &\quad \small\left\{\begin{gathered} (\emptyset, \emptyset), (\{1\}, \{1\}), \\ (\{1\}, \{2\}), (\{2\}, \{1\}), \\ (\{2\}, \{2\}), (\{1, 2\}, \{1, 2\}) \end{gathered}\right\}, \end{aligned}
$$ cho ra $S_2 = 0 + 1 + 0 + 0 + 1 + 2 = 4.$ Đặt $\frac{S_{2022}}{S_{2021}} = \frac{p}{q},$ trong đó $p$ và $q$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm số dư khi $p + q$ được chia cho $1000.$

Đặt $S$ là tập hợp tất cả các số hữu tỷ có thể được biểu thị dưới dạng số thập phân lặp lại ở dạng $0.\overline{abcd},$ trong đó ít nhất một trong các chữ số $a,$ $b,$ $c,$ hoặc $d$ khác không. Đặt $N$ là số tử số riêng biệt thu được khi các số trong $S$ được viết dưới dạng phân số ở số hạng thấp nhất. Ví dụ: cả $4$ và $410$ đều được tính trong số các tử số riêng biệt cho các số trong $S$ vì $0.\overline{3636} = \frac{4}{11}$ và $0.\overline{1230} = \frac{410}{3333}.$ Tìm số dư khi $N$ được chia cho $1000.$

Cho $\triangle ABC$ và một điểm $P$ trên một trong các cạnh của nó, gọi đường $\ell$ *đường phân tách* của $\triangle ABC$ đến $P$ nếu $\ell$ đi qua $P$ và chia $\triangle ABC$ thành hai đa giác bằng nhau chu vi. Giả sử $\triangle ABC$ là một tam giác trong đó $BC = 219$ và $AB$ và $AC$ là các số nguyên dương. Đặt $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $\overline{AB}$ và $\overline{AC},$ và giả sử rằng các đường phân tách của $\triangle ABC$ đến $M$ và $N$ cắt nhau tại $30^\circ.$ Tìm chu vi của $\triangle ABC.$

Đặt $x,$ $y,$ và $z$ là các số thực dương thỏa mãn hệ phương trình $$
\sqrt{2x - xy} + \sqrt{2y - xy} = 1
$$ $$
\sqrt{2y - yz} + \sqrt{2z - yz} = \sqrt{2}
$$ $$
\sqrt{2z - zx} + \sqrt{2x - zx} = \sqrt{3}.
$$ Khi đó $\left[(1 - x)(1 - y)(1 - z)\right]^2$ có thể được viết là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$