Ngân hàng câu hỏi AIME 1983

Đặt $x,$ $y,$ và $z$ đều vượt quá $1$ và đặt $w$ là số dương sao cho $$
\begin{aligned} \log_x w &= 24,\\ \log_y w &= 40,\\ \log_{xyz} w &= 12. \end{aligned}
$$ Tìm $\log_z w.$

Đặt $f(x)=|x-p|+|x-15|$ ${}+|x-p-15|,$ trong đó $0<p<15.$ Xác định giá trị tối thiểu được lấy bởi $f(x)$ cho $x$ trong khoảng $p\leq x\leq15.$

Tích của nghiệm thực của phương trình $$
\begin{gathered} x^2+18x+30\\ {}=2\sqrt{x^2+18x+45}? \end{gathered}
$$ là bao nhiêu

Một dụng cụ cắt ở xưởng máy có dạng hình tròn có khía khía như hình vẽ. Bán kính của hình tròn là $\sqrt{50}$ cm, chiều dài của $AB$ là $6$ cm và chiều dài của $BC$ là $2$ cm. Góc $ABC$ là góc vuông. Tìm bình phương khoảng cách (tính bằng centimet) từ $B$ đến tâm hình tròn.

Giả sử rằng tổng bình phương của hai số phức $x$ và $y$ là $7$ và tổng các lập phương là $10.$ Giá trị thực lớn nhất mà $x+y$ có thể có là bao nhiêu?

Hãy để $a_n=6^n+8^n.$ Xác định số dư khi chia $a_{83}$ cho $49.$

Hai mươi lăm hiệp sĩ của Vua Arthur đang ngồi ở chiếc bàn tròn thông thường của họ. Ba người trong số họ được chọn, với tất cả các lựa chọn đều có khả năng ngang nhau, và được cử đi tiêu diệt một con rồng rắc rối. Đặt $P$ là xác suất mà ít nhất hai trong số ba người đã ngồi cạnh nhau. Nếu $P$ được viết dưới dạng phân số ở dạng tối giản thì tổng của tử số và mẫu số là bao nhiêu?

Số nguyên tố có chữ số $2$ lớn nhất thừa số lớn nhất của số nguyên $n=\binom{200}{100}?$ là bao nhiêu

Tìm giá trị nhỏ nhất của $$
\frac{9x^2\sin^2x+4}{x\sin x}
$$ cho $0<x<\pi.$

Các số $1447,$ $1005,$ và $1231$ có điểm chung: mỗi số là một số có bốn chữ số bắt đầu bằng $1$ có chính xác hai chữ số giống nhau. Có bao nhiêu số như vậy?

Hình khối được hiển thị có đáy hình vuông có chiều dài cạnh $s.$ Cạnh trên song song với đáy và có chiều dài $2s.$ Tất cả các cạnh khác có chiều dài $s.$ Cho rằng $s=6\sqrt2,$ thể tích của hình khối là gì?

Đường kính $AB$ của hình tròn có độ dài là số nguyên $2$-chữ số (cơ số mười). Đảo ngược các chữ số sẽ cho độ dài của dây vuông góc $CD.$ Khoảng cách từ điểm giao nhau của chúng $H$ đến tâm $O$ là một số hữu tỷ dương. Xác định độ dài của $AB.$

Đối với $\{1,2,3,\ldots,n\}$ và mỗi tập hợp con khác trống của nó, một **tổng xen kẽ** duy nhất được xác định như sau: Sắp xếp các số trong tập hợp con theo thứ tự giảm dần và sau đó, bắt đầu từ số lớn nhất, lần lượt cộng và trừ các số liên tiếp. (Ví dụ: tổng xen kẽ của $\{1,2,4,6,9\}$ là $9-6+4-2+1=6$ và của $\{5\}$ nó chỉ đơn giản là $5.$) Tìm tổng của tất cả các tổng xen kẽ như vậy của $n=7.$

Trong hình bên cạnh, hai vòng tròn có bán kính $6$ và $8$ được vẽ với tâm của chúng là $12$ đơn vị. Tại $P,$ một trong các điểm giao nhau, một đường thẳng được vẽ sao cho dây $QP$ và $PR$ có độ dài bằng nhau. Tìm bình phương có độ dài của $QP.$

Hình liền kề thể hiện hai dây cung giao nhau trong một vòng tròn, với $B$ trên cung nhỏ $AD.$ Giả sử rằng bán kính của đường tròn là $5,$ rằng $BC=6,$ và $AD$ được chia đôi bởi $BC.$ Giả sử thêm rằng $AD$ là hợp âm duy nhất bắt đầu từ $A$ được chia đôi bởi $BC.$ Do đó, sin của cung nhỏ $AB$ là một số hữu tỷ. Nếu phân số này được biểu diễn dưới dạng phân số $\frac{m}{n}$ ở dạng tối giản thì tích $mn?$ là bao nhiêu?