Dây cung của đường tròn vuông góc với bán kính tại trung điểm của bán kính. Tỷ lệ diện tích của phần lớn hơn trong hai vùng mà dây cung chia vòng tròn thành phần nhỏ hơn có thể được biểu thị dưới dạng $\frac{a\pi + b\sqrt{c}}{d\pi - e\sqrt{f}},$ trong đó $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ $e,$ và $f$ là các số nguyên dương, $a$ và $e$ là các số nguyên tố cùng nhau và cả $c$ hay $f$ đều không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào. Tìm số dư khi tích $a \cdot b \cdot c \cdot d \cdot e \cdot f$ chia cho $1000.$
Một lọ có $10$ kẹo đỏ và $10$ kẹo xanh. Terry chọn ngẫu nhiên hai viên kẹo, sau đó Mary chọn ngẫu nhiên hai viên kẹo còn lại. Cho rằng xác suất mà chúng có cùng tổ hợp màu, không phân biệt thứ tự, là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố, hãy tìm $m + n.$
Một khối hình chữ nhật đặc được hình thành bằng cách dán các hình khối $N$ bằng nhau $1$-cm lại với nhau. Khi khối được xem sao cho có thể nhìn thấy ba mặt của nó, không thể nhìn thấy chính xác $231$ của các khối $1$-cm. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể có của $N.$
Để hoàn thành một công việc lớn, $1000$ công nhân đã được thuê, chỉ đủ để hoàn thành công việc đúng tiến độ. Tất cả công nhân vẫn tiếp tục làm việc trong khi quý đầu tiên của công việc được hoàn thành nên quý đầu tiên của công việc đã được hoàn thành đúng tiến độ. Sau đó $100$ công nhân bị sa thải nên quý 2 công việc đã hoàn thành chậm tiến độ. Sau đó, thêm $100$ công nhân bị sa thải, nên quý thứ ba của công việc vẫn hoàn thành chậm hơn tiến độ. Cho rằng tất cả công nhân đều làm việc với tốc độ như nhau, số công nhân bổ sung tối thiểu là bao nhiêu, ngoài $800$ công nhân vẫn làm việc vào cuối quý thứ ba, phải được thuê sau khi 3/4 công việc đã hoàn thành để toàn bộ dự án có thể hoàn thành đúng tiến độ hoặc trước đó?
Ba chú khỉ thông minh chia nhau một đống chuối. Con khỉ đầu tiên lấy một số quả chuối từ đống chuối, giữ lại 3/4 số đó và chia đều số còn lại cho hai con còn lại. Con khỉ thứ hai lấy một ít chuối từ đống chuối, giữ lại 1/4 số đó và chia đều số còn lại cho hai con còn lại. Con khỉ thứ ba lấy số chuối còn lại trong đống, giữ lại 1/12 và chia đều số còn lại cho hai con còn lại. Cho rằng mỗi con khỉ nhận được toàn bộ số chuối bất cứ khi nào số chuối được chia và số chuối mà con khỉ thứ nhất, thứ hai và thứ ba có ở cuối quá trình có tỷ lệ $3 : 2 : 1,$ tổng số chuối ít nhất có thể là bao nhiêu?
$ABCD$ là một tờ giấy hình chữ nhật được gấp lại sao cho góc $B$ khớp với điểm $B'$ trên cạnh $\overline{AD}.$ Nếp gấp là $\overline{EF},$ trong đó $E$ nằm trên $\overline{AB}$ và $F$ nằm trên $\overline{CD}.$ Các kích thước $AE = 8,$ $BE = 17,$ và $CF = 3$ đã được đưa ra. chu vi của hình chữ nhật $ABCD$ là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$
Một chuỗi các số nguyên dương với $a_1 = 1$ và $a_9 + a_{10} = 646$ được hình thành sao cho ba số hạng đầu tiên theo cấp số nhân, các số hạng thứ hai, thứ ba và thứ tư theo cấp số cộng, và nói chung, với tất cả $n \ge 1,$ các số hạng $a_{2n-1},$ $a_{2n},$ và $a_{2n+1}$ đều theo cấp số nhân, và các số hạng $a_{2n},$ $a_{2n+1},$ và $a_{2n+2}$ đang ở cấp số cộng. Đặt $a_n$ là số hạng lớn nhất trong dãy này nhỏ hơn $1000.$ Tìm $n + a_n.$
Đặt $\mathcal{S}$ là tập hợp các số nguyên nằm giữa $1$ và $2^{40}$ có khai triển nhị phân có chính xác hai $1$. Nếu một số được chọn ngẫu nhiên từ $\mathcal{S},$ thì xác suất mà chia hết cho $9$ là $\frac{p}{q},$ trong đó $p$ và $q$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $p + q.$
Một hình nón tròn bên phải có đáy có bán kính $600$ và chiều cao $200\sqrt{7}.$ Một con ruồi bắt đầu tại một điểm trên bề mặt hình nón có khoảng cách từ đỉnh của hình nón là $125,$ và bò dọc theo bề mặt hình nón đến một điểm ở phía đối diện chính xác của hình nón có khoảng cách đến đỉnh là $375\sqrt{2}.$ Tìm khoảng cách nhỏ nhất mà con ruồi có thể đã bò.
Giả sử $ABCD$ là một hình cân đối hình thang, có kích thước là $AB = 6,$ $BC = 5 = DA,$ và $CD = 4.$ Vẽ các đường tròn bán kính $3$ có tâm tại $A$ và $B,$ và các đường tròn bán kính $2$ có tâm tại $C$ và $D.$ Một đường tròn nằm trong hình thang tiếp tuyến với cả bốn đường tròn này. Bán kính của nó là $\frac{-k + m\sqrt{n}}{p},$ trong đó $k,$ $m,$ $n,$ và $p$ là số nguyên dương, $n$ không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào và $k$ và $p$ tương đối nguyên tố. Tìm $k + m + n + p.$
Giả sử $ABCDE$ là một hình ngũ giác lồi với $\overline{AB} \parallel \overline{CE},$ $\overline{BC} \parallel \overline{AD},$ $\overline{AC} \parallel \overline{DE},$ $\angle ABC = 120^\circ,$ $AB = 3,$ $BC = 5,$ và $DE = 15.$ Cho rằng tỷ lệ giữa diện tích của tam giác $ABC$ và diện tích của tam giác $EBD$ là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau, tìm $m + n.$
Hãy xem xét một chuỗi $n$ $7$'s, $7777\ldots77,$ trong đó các dấu hiệu $+$ được chèn vào để tạo ra một biểu thức số học. Ví dụ: $7 + 77 + 777 + 7 + 7 = 875$ có thể thu được từ tám $7$ theo cách này. Có bao nhiêu giá trị của $n$ có thể chèn dấu $+$ để biểu thức thu được có giá trị $7000?$
Một dải giấy mỏng dài có chiều dài $1024$ đơn vị, chiều rộng $1$ đơn vị và được chia thành $1024$ ô vuông đơn vị. Tờ giấy được gấp làm đôi nhiều lần. Lần gấp đầu tiên, đầu bên phải của tờ giấy được gấp lại trùng với và nằm chồng lên đầu bên trái. Kết quả là một dải $512$ x $1$ có độ dày gấp đôi. Tiếp theo, đầu bên phải của dải này được gấp lại trùng với và nằm phía trên đầu bên trái, tạo thành dải $256$ x $1$ có độ dày gấp bốn lần. Quá trình này được lặp lại $8$ nhiều lần hơn. Sau lần gấp cuối cùng, dải này đã trở thành một chồng các ô vuông đơn vị $1024$. Có bao nhiêu hình vuông trong số này nằm bên dưới hình vuông ban đầu là hình vuông thứ $942$tính từ bên trái?
Các chữ số của số nguyên dương $n$ là bốn số nguyên liên tiếp theo thứ tự giảm dần khi đọc từ trái sang phải. Tổng số dư có thể có khi chia $n$ cho $37?$
Tập $\mathcal{A}$ gồm $m$ số nguyên liên tiếp có tổng là $2m,$ và tập $\mathcal{B}$ gồm $2m$ số nguyên liên tiếp có tổng là $m.$ Giá trị tuyệt đối của chênh lệch giữa phần tử lớn nhất của $\mathcal{A}$ và phần tử lớn nhất của $\mathcal{B}$ là $99.$ Tìm $m.$
Một khối đa diện lồi $P$ có $26$ đỉnh, $60$ cạnh và $36$ mặt, $24$ trong số đó là hình tam giác và $12$ trong số đó là hình tứ giác. Đường chéo không gian là đoạn thẳng nối hai đỉnh không kề nhau và không thuộc cùng một mặt. $P$ có bao nhiêu đường chéo không gian?
Hình vuông có các cạnh có độ dài $2.$ Bộ $\mathcal{S}$ là tập hợp tất cả các đoạn thẳng có độ dài $2$ và các điểm cuối của chúng nằm trên các cạnh liền kề của hình vuông. Trung điểm của các đoạn thẳng trong tập $\mathcal{S}$ bao quanh một vùng có diện tích đến hàng trăm gần nhất là $k.$ Tìm $100k.$
Alpha và Beta đều tham gia một cuộc thi giải quyết vấn đề kéo dài hai ngày. Vào cuối ngày thứ hai, mỗi người đã thử các câu hỏi có tổng điểm $500$ điểm. Alpha đã ghi được $160$ điểm trong số $300$ điểm cố gắng vào ngày đầu tiên và đã ghi được $140$ điểm trong số $200$ số điểm cố gắng vào ngày thứ hai. Beta, người không thử $300$ điểm vào ngày đầu tiên, có số điểm nguyên dương trong cả hai ngày và tỷ lệ thành công hàng ngày của Beta (số điểm ghi được chia cho số điểm đã thử) mỗi ngày thấp hơn Alpha vào ngày đó. Tỷ lệ thành công trong hai ngày của Alpha là $\frac{300}{500} = \frac{3}{5}.$ Tỷ lệ thành công lớn nhất có thể có trong hai ngày mà Beta có thể đạt được là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. $m + n?$ là gì
