Gary đã mua một loại đồ uống lớn, nhưng chỉ uống $\frac{m}{n}$ loại đồ uống này, trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Nếu Gary chỉ mua một nửa và uống nhiều gấp đôi, anh ấy sẽ chỉ lãng phí $\frac{2}{9}$ lượng đồ uống đó. Tìm $m + n.$
Trên hình vuông $ABCD,$ điểm $E$ nằm trên cạnh $\overline{AD}$ và điểm $F$ nằm trên cạnh $\overline{BC},$ sao cho $BE = EF = FD = 30.$ Tìm diện tích của hình vuông $ABCD.$
Trong tam giác $ABC,$ $AB = \frac{20}{11} AC.$ Đường phân giác của góc $A$ cắt $\overline{BC}$ tại điểm $D,$ và điểm $M$ là trung điểm của $\overline{AD}.$ Gọi $P$ là giao điểm của $\overline{AC}$ và dòng $BM.$ Tỷ lệ của $CP$ đến $PA$ có thể được biểu thị dưới dạng $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$
Tổng các số hạng $2011$ đầu tiên của một chuỗi hình học là $200.$ Tổng các số hạng $4022$ đầu tiên của cùng một chuỗi là $380.$ Tìm tổng các số hạng $6033$ đầu tiên của chuỗi.
Xác định một bộ bốn số nguyên có thứ tự $(a, b, c, d)$ là *thú vị* nếu $1 \le a \lt b \lt c \lt d \le 10$ và $a + d \gt b + c.$ Có bao nhiêu bộ bốn số nguyên thú vị?
Ed có năm viên bi màu xanh lá cây giống hệt nhau và một lượng lớn những viên bi màu đỏ giống hệt nhau. Anh ta sắp xếp các viên bi màu xanh lá cây và một số viên bi màu đỏ thành một hàng và thấy rằng số viên bi có hàng xóm bên phải có cùng màu với chính họ bằng số viên bi có hàng xóm bên phải có màu khác. Một ví dụ về sự sắp xếp như vậy là GGRRRGGRG. Gọi $m$ là số lượng viên bi đỏ tối đa mà sự sắp xếp như vậy có thể thực hiện được, và gọi $N$ là số cách mà Ed có thể sắp xếp các viên bi $m + 5$ để thỏa mãn yêu cầu. Tìm số dư khi $N$ được chia cho $1000.$
Đặt $z_1,$ $z_2,$ $z_3,$ $\ldots,$ $z_{12}$ là $12$ số 0 của đa thức $z^{12} - 2^{36}.$ Với mỗi $j,$ đặt $w_j$ là một trong $z_j$ hoặc $\mathrm{i}z_j.$ Khi đó, giá trị lớn nhất có thể có của phần thực của $\sum_{j=1}^{12} w_j$ có thể được viết là $m + \sqrt{n},$ trong đó $m$ và $n$ là số nguyên dương. Tìm $m + n.$
Đặt $x_1,$ $x_2,$ $\ldots,$ $x_6$ là các số thực không âm sao cho $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 =$ $1,$ và $x_1x_3x_5 + x_2x_4x_6 \ge \frac{1}{540}.$ Đặt $p$ và $q$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố như vậy rằng $\frac{p}{q}$ là giá trị tối đa có thể có của $$
\begin{aligned} &x_1x_2x_3 + x_2x_3x_4 \\ &\quad {}+ x_3x_4x_5 + x_4x_5x_6 \\ &\quad {}+ x_5x_6x_1 + x_6x_1x_2. \end{aligned}
$$ Tìm $p + q.$
Đường tròn tâm $O$ có bán kính $25.$ Dây cung $\overline{AB}$ có độ dài $30$ và dây cung $\overline{CD}$ có độ dài $14$ cắt nhau tại điểm $P.$ Khoảng cách giữa trung điểm của hai dây cung là $12.$ Đại lượng $OP^2$ có thể được biểu diễn dưới dạng $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm số dư khi $m + n$ được chia cho $1000.$
Đặt $M_n$ là ma trận $n \times n$ với các mục như sau: for $1 \le i \le n,$ $m_{i,i} = 10;$ for $1 \le i \le n - 1,$ $m_{i+1,i} = m_{i,i+1} = 3;$ tất cả các mục khác trong $M_n$ đều bằng 0. Đặt $D_n$ là định thức của ma trận $M_n.$ Khi đó $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{8D_n + 1}$ có thể được biểu diễn dưới dạng $\frac{p}{q},$ trong đó $p$ và $q$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $p + q.$
Lưu ý: Định thức của ma trận $1 \times 1$ $[a]$ là $a,$ và định thức của ma trận $2 \times 2$ $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ là $ad - bc;$ cho $n \ge 2,$ định thức của ma trận $n \times n$ có hàng đầu tiên hoặc cột đầu tiên $a_1$ $a_2$ $a_3$ $\ldots$ $a_n$ bằng $a_1C_1 - a_2C_2$ $+ a_3C_3 - \cdots$ $+ (-1)^{n+1}a_nC_n,$ trong đó $C_i$ là định thức của Ma trận $(n - 1) \times (n - 1)$ được hình thành bằng cách loại bỏ hàng và cột chứa $a_i.$
Chín đại biểu, mỗi đại biểu ba người đến từ ba quốc gia khác nhau, chọn ngẫu nhiên những chiếc ghế tại một bàn tròn có chín người. Đặt xác suất mà mỗi đại biểu ngồi cạnh ít nhất một đại biểu từ một quốc gia khác là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$
Điểm $P$ nằm trên đường chéo $AC$ của hình vuông $ABCD$ với $AP \gt CP.$ Đặt $O_1$ và $O_2$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ABP$ và $CDP,$. Cho rằng $AB = 12$ và $\angle O_1PO_2 = 120^\circ,$ thì $AP = \sqrt{a} + \sqrt{b},$ trong đó $a$ và $b$ là số nguyên dương. Tìm $a + b.$
Có $N$ hoán vị $(a_1, a_2, \ldots, a_{30})$ của $1,$ $2,$ $\ldots,$ $30$ sao cho $m \in \{2, 3, 5\},$ $m$ chia $a_{n+m} - a_n$ cho tất cả các số nguyên $n$ với $1 \le n \lt n + m \le 30.$ Tìm số dư khi $N$ được chia cho $1000.$
Đặt $P(x) = x^2 - 3x - 9.$ Một số thực $x$ được chọn ngẫu nhiên từ khoảng $5 \le x \le 15.$ xác suất mà $\left\lfloor \sqrt{P(x)} \right\rfloor = \sqrt{P(\lfloor x \rfloor)}$ bằng $\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} - d}{e},$ trong đó $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ và $e$ là số nguyên dương. Tìm $a + b + c + d + e.$
Bình $A$ chứa bốn lít dung dịch chứa $45$% axit. Bình $B$ chứa 5 lít dung dịch chứa $48$% axit. Bình $C$ chứa một lít dung dịch chứa axit $k$%. Từ bình $C$, $\frac{m}{n}$ lít dung dịch được thêm vào bình $A$, và số dư của dung dịch trong bình $C$ được thêm vào bình $B$. Cuối cùng, cả bình $A$ và bình $B$ đều chứa dung dịch có tính axit $50$%. Cho rằng $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau, hãy tìm $k + m + n.$
Trong hình chữ nhật $ABCD,$ $AB = 12$ và $BC = 10.$ Điểm $E$ và $F$ nằm bên trong hình chữ nhật $ABCD$ sao cho $BE = 9,$ $DF = 8,$ $\overline{BE} \parallel \overline{DF},$ $\overline{EF} \parallel \overline{AB},$ và đường thẳng $BE$ cắt đoạn $\overline{AD}.$ Độ dài $EF$ có thể được biểu thị dưới dạng $m\sqrt{n} - p,$ trong đó $m,$ $n,$ và $p$ là các số nguyên dương và $n$ không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào. Tìm $m + n + p.$
Đặt $L$ là đường thẳng có độ dốc $\frac{5}{12}$ chứa điểm $A = (24, -1),$ và đặt $M$ là đường thẳng vuông góc với đường thẳng $L$ chứa điểm $B = (5, 6).$ Các trục tọa độ ban đầu bị xóa và đường thẳng $L$ được làm Trục $x$ và đường thẳng $M$ trục $y$. Trong hệ tọa độ mới, điểm $A$ nằm trên trục dương $x$ và điểm $B$ nằm trên trục dương $y$. Điểm $P$ có tọa độ $(-14, 27)$ trong hệ tọa độ ban đầu có tọa độ $(\alpha, \beta)$ trong hệ tọa độ mới. Tìm $\alpha + \beta.$
Trong tam giác $ABC,$ $AB = 125,$ $AC = 117,$ và $BC = 120.$ Đường phân giác của góc $A$ cắt $\overline{BC}$ tại điểm $L,$ và đường phân giác của góc $B$ cắt nhau $\overline{AC}$ tại điểm $K.$ Đặt $M$ và $N$ lần lượt là chân các đường vuông góc từ $C$ đến $\overline{BK}$ và $\overline{AL},$. Tìm $MN.$
Các đỉnh của một hình giác đều đều ($9$] phải được dán nhãn bằng các chữ số $1$ đến $9$ sao cho tổng các số trên mỗi ba đỉnh liên tiếp là bội số của $3.$ Hai cách sắp xếp chấp nhận được được coi là không thể phân biệt được nếu có thể lấy được một từ khác bằng cách xoay nonagon trong mặt phẳng. Tìm số cách sắp xếp có thể phân biệt được.