Ngân hàng câu hỏi AIME 1984

Tìm giá trị của $a_2+a_4+a_6+\cdots+a_{98}$ nếu $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots$ là một cấp số cộng có chung sai phân $1,$ và $a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{98}=137.$

Số nguyên $n$ là số dương nhỏ nhất bội số của $15$ sao cho mỗi chữ số của $n$ là $8$ hoặc $0.$ Tính $\frac{n}{15}.$

Một điểm $P$ được chọn bên trong $\triangle ABC$ sao cho khi các đường thẳng được vẽ qua $P$ song song với các cạnh của $\triangle ABC,$ sẽ tạo ra các tam giác nhỏ hơn, $t_1,$ $t_2,$ và $t_3$ trong hình, có diện tích $4,$ $9,$ và $49,$ tương ứng. Tìm diện tích của $\triangle ABC.$

Đặt $S$ là danh sách các số nguyên dương—không nhất thiết phải khác biệt—trong đó số $68$ xuất hiện. Trung bình (số học trung bình cộng) của các số trong $S$ là $56.$ Tuy nhiên, nếu loại bỏ $68$ thì trung bình cộng của các số còn lại giảm xuống $55.$ Số lớn nhất có thể xuất hiện trong $S?$ là bao nhiêu?

Xác định giá trị của $ab$ nếu $\log_8a+\log_4b^2=5$ và $\log_8b+\log_4a^2=7.$

Ba đường tròn, mỗi đường tròn có bán kính $3,$ được vẽ với tâm tại $(14,92),$ $(17,76),$ và $(19,84).$ Một đường thẳng đi qua $(17,76)$ sao cho tổng diện tích của các phần của ba đường tròn về một phía của đường thẳng bằng tổng diện tích của các phần của ba vòng tròn sang phía bên kia của nó. Giá trị tuyệt đối của độ dốc của đường này là gì?

Hàm $f$ được xác định trên tập hợp số nguyên và thỏa mãn $f(n)=n-3$ if $n\geq1000,$ và $$
f(n)=f(f(n+5))
$$ if $n<1000.$ Find $f(84).$

Phương trình $z^6+z^3+1=0$ có một nghiệm phức với đối số $\theta$ nằm giữa $90^\circ$ và $180^\circ$ trong mặt phẳng phức. Xác định số đo độ của $\theta.$

Trong tứ diện $ABCD,$ cạnh $AB$ có chiều dài $3$ cm. diện tích của mặt $ABC$ là $15\text{ cm}^2$ và diện tích của mặt $ABD$ là $12\text{ cm}^2.$ Hai mặt này gặp nhau ở một góc $30^\circ$. Tìm thể tích của tứ diện trong $\text{cm}^3.$

Mary cho John biết điểm của cô trong Kỳ thi Toán Trung học Hoa Kỳ (AHSME), điểm này cao hơn $80.$ Từ đó, John có thể xác định số lượng bài toán mà Mary đã giải đúng. Nếu điểm của Mary thấp hơn nhưng vẫn trên $80,$ thì John không thể xác định được điều này. Điểm của Mary là bao nhiêu? (Hãy nhớ rằng AHSME bao gồm các bài toán $30$ bội số-phương án và điểm của một người, $s,$ được tính theo công thức $s=30+4c-w,$ trong đó $c$ là số đúng và $w$ là số sai; học sinh thì không bị phạt vì những vấn đề chưa được giải quyết.)

Một người làm vườn trồng ba cây phong, bốn cây sồi và năm cây bạch dương thành một hàng. Anh ta sắp xếp chúng theo thứ tự ngẫu nhiên, mỗi cách sắp xếp đều có khả năng xảy ra như nhau. Đặt $\frac{m}{n}$ ở mức thấp nhất là xác suất rằng không có hai cây bạch dương nào nằm cạnh nhau. Tìm $m+n.$

Hàm $f$ được xác định cho tất cả các số thực và thỏa mãn $$
\begin{aligned} f(2+x)&=f(2-x),\\ f(7+x)&=f(7-x) \end{aligned}
$$ cho mọi số thực $x.$ Nếu $x=0$ là nghiệm của $f(x)=0,$ thì số nghiệm ít nhất $f(x)=0$ phải có trong khoảng $-1000\leq x\leq1000?$ là bao nhiêu?

Tìm giá trị của $$
\begin{aligned} 10\cot\bigl(&\cot^{-1}3+\cot^{-1}7\\ &{}+\cot^{-1}13+\cot^{-1}21\bigr). \end{aligned}
$$

Số nguyên chẵn lớn nhất không thể viết được dưới dạng tổng của hai số lẻ là bao nhiêu?

Tính $w^2+x^2+y^2+z^2$, biết rằng

$$
\begin{aligned}
\frac{x^2}{2^2-1}+\frac{y^2}{2^2-3^2}+\frac{z^2}{2^2-5^2}+\frac{w^2}{2^2-7^2}&=1,\\
\frac{x^2}{4^2-1}+\frac{y^2}{4^2-3^2}+\frac{z^2}{4^2-5^2}+\frac{w^2}{4^2-7^2}&=1,\\
\frac{x^2}{6^2-1}+\frac{y^2}{6^2-3^2}+\frac{z^2}{6^2-5^2}+\frac{w^2}{6^2-7^2}&=1,\\
\frac{x^2}{8^2-1}+\frac{y^2}{8^2-3^2}+\frac{z^2}{8^2-5^2}+\frac{w^2}{8^2-7^2}&=1.
\end{aligned}
$$