Trước khi bắt đầu vẽ, Bill có $130$ ounce sơn xanh, $164$ ounce sơn đỏ và $188$ ounce sơn trắng. Bill sơn bốn sọc có kích thước bằng nhau trên tường, tạo thành sọc xanh, sọc đỏ, sọc trắng và sọc hồng. Màu hồng là sự kết hợp của màu đỏ và trắng, không nhất thiết phải có số lượng bằng nhau. Khi Bill hoàn thành, anh ấy còn lại một lượng sơn xanh, đỏ và trắng bằng nhau. Tìm tổng số ounce sơn Bill còn lại.
Giả sử rằng $a,$ $b,$ và $c$ là các số thực dương sao cho $a^{\log_3 7} = 27,$ $b^{\log_7 11} = 49,$ và $c^{\log_{11} 25} = \sqrt{11}.$ Tìm $$
a^{(\log_3 7)^2} + b^{(\log_7 11)^2} + c^{(\log_{11} 25)^2}.
$$
Trong hình chữ nhật $ABCD,$ $AB = 100.$ Cho $E$ là trung điểm của $\overline{AD}.$ Cho đường thẳng $AC$ và đường thẳng $BE$ vuông góc, tìm số nguyên lớn nhất nhỏ hơn $AD.$
Một nhóm trẻ em tổ chức cuộc thi ăn nho. Khi cuộc thi kết thúc, người chiến thắng đã ăn $n$ nho và đứa trẻ ở vị trí thứ $k$đã ăn $n + 2 - 2k$ nho. Tổng số nho ăn trong cuộc thi là $2009.$ Tìm giá trị nhỏ nhất có thể có của $n.$
tam giác đều $T$ nội tiếp đường tròn $A,$ có bán kính $10.$ Đường tròn $B$ có bán kính $3$ tiếp tuyến trong với đường tròn $A$ tại một đỉnh của $T.$ Đường tròn $C$ và $D,$ đều có bán kính $2,$ tiếp tuyến trong với đường tròn $A$ tại hai đỉnh còn lại của $T.$ Đường tròn $B,$ $C,$ và $D$ đều tiếp tuyến ngoài với đường tròn $E,$ có bán kính $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$
Đặt $m$ là số tập hợp con năm phần tử có thể được chọn từ tập hợp các số tự nhiên $14$ đầu tiên sao cho ít nhất hai trong số năm số liên tiếp. Tìm số dư khi $m$ được chia cho $1000.$
Xác định $n!!$ là $n(n-2)(n-4)\cdots 3 \cdot 1$ cho $n$ lẻ và $n(n-2)(n-4)\cdots 4 \cdot 2$ cho $n$ chẵn. Khi $\sum_{i=1}^{2009} \frac{(2i-1)!!}{(2i)!!}$ được biểu thị dưới dạng phân số ở dạng thấp nhất, mẫu số của nó là $2^a b$ với $b$ lẻ. Tìm $\frac{ab}{10}.$
Dave tung xúc xắc sáu mặt đẹp mắt cho đến khi con xúc xắc sáu mặt xuất hiện lần đầu tiên. Một cách độc lập, Linda tung xúc xắc sáu mặt công bằng cho đến khi con xúc xắc sáu mặt xuất hiện lần đầu tiên. Cho $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố sao cho $\frac{m}{n}$ là xác suất mà số lần Dave tung xúc xắc bằng hoặc nằm trong một trong số lần Linda tung xúc xắc. Tìm $m + n.$
Gọi $m$ là số nghiệm trong số nguyên dương của phương trình $4x + 3y + 2z = 2009,$ và đặt $n$ là số nghiệm trong số nguyên dương của phương trình $4x + 3y + 2z = 2000.$ Tìm số dư khi $m - n$ được chia cho $1000.$
Bốn ngọn hải đăng được đặt tại các điểm $A,$ $B,$ $C,$ và $D.$ Ngọn hải đăng ở $A$ cách $5$ km từ ngọn hải đăng ở $B,$ ngọn hải đăng ở $B$ là $12$ km từ ngọn hải đăng ở $C,$ và ngọn hải đăng ở $A$ cách $13$ km từ ngọn hải đăng ở $C.$ Đối với người quan sát ở $A,$ góc được xác định bởi các đèn tại $B$ và $D$ và góc được xác định bởi đèn tại $C$ và $D$ đều bằng nhau. Đối với người quan sát tại $C,$, góc được xác định bởi đèn tại $A$ và $B$ và góc được xác định bởi đèn tại $D$ và $B$ là bằng nhau. Số km từ $A$ đến $D$ được cho bởi $\frac{p\sqrt{r}}{q},$ trong đó $p,$ $q,$ và $r$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố và $r$ không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào. Tìm $p + q + r.$
Đối với một số cặp $(m, n)$ số nguyên dương nhất định với $m \ge n$, có chính xác $50$ số nguyên dương riêng biệt $k$ sao cho $|\log m - \log k| \lt \log n.$ Tìm tổng của tất cả các giá trị có thể có của tích $mn.$
Từ tập hợp các số nguyên $\{1, 2, 3, \ldots, 2009\},$ chọn $k$ cặp $\{a_i, b_i\}$ với $a_i \lt b_i$ sao cho không có hai cặp nào có phần tử chung. Giả sử rằng tất cả các tổng $a_i + b_i$ là khác nhau và nhỏ hơn hoặc bằng $2009.$ Tìm giá trị lớn nhất có thể có của $k.$
Đặt $A$ và $B$ là điểm cuối của một cung hình bán nguyệt có bán kính $2.$ Cung được chia thành bảy cung bằng nhau bởi sáu điểm cách đều nhau $C_1,$ $C_2,$ $\ldots,$ $C_6.$ Tất cả các hợp âm có dạng $\overline{AC_i}$ hoặc $\overline{BC_i}$ đều được vẽ. Gọi $n$ là tích độ dài của 12 dây này. Tìm số dư khi $n$ được chia cho $1000.$
Dãy số $(a_n)$ thỏa mãn $a_0 = 0$ và $a_{n+1} = \frac{8}{5}a_n + \frac{6}{5}\sqrt{4^n - a_n^2}$ cho $n \ge 0.$ Tìm số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng $a_{10}.$
Đặt $\overline{MN}$ là đường kính của một đường tròn có đường kính $1.$ Đặt $A$ và $B$ là các điểm trên một trong các cung bán nguyệt được xác định bởi $\overline{MN}$ sao cho $A$ là trung điểm của hình bán nguyệt và $MB = \frac{3}{5}.$ Điểm $C$ nằm trên cung hình bán nguyệt còn lại. Đặt $d$ là độ dài của đoạn thẳng có điểm cuối là giao điểm của đường kính $\overline{MN}$ với dây cung $\overline{AC}$ và $\overline{BC}.$ Giá trị lớn nhất có thể có của $d$ có thể được viết dưới dạng $r - s\sqrt{t},$ trong đó $r,$ $s,$ và $t$ là số nguyên dương và $t$ không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào. Tìm $r + s + t.$
Gọi một số có $3$-chữ số *hình học* nếu nó có $3$ các chữ số riêng biệt mà khi đọc từ trái sang phải sẽ tạo thành cấp số nhân. Tìm sự khác biệt giữa các số hình học lớn nhất và nhỏ nhất.
Một đồng xu xuất hiện mặt ngửa với xác suất $p \gt 0$ và mặt sấp với xác suất $1 - p \gt 0$ độc lập trong mỗi lần lật sẽ được tung tám lần. Giả sử xác suất của ba mặt ngửa và năm mặt ngửa bằng $\frac{1}{25}$ của xác suất của năm mặt ngửa và ba mặt sấp. Đặt $p = \frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$
Trong hình bình hành $ABCD,$ điểm $M$ nằm trên $\overline{AB}$ sao cho $\frac{AM}{AB} = \frac{17}{1000},$ và điểm $N$ nằm trên $\overline{AD}$ sao cho $\frac{AN}{AD} = \frac{17}{2009}.$ Giả sử $P$ là giao điểm của $\overline{AC}$ và $\overline{MN}.$ Tìm $\frac{AC}{AP}.$
Tam giác $ABC$ có $AC = 450$ và $BC = 300.$ Điểm $K$ và $L$ lần lượt nằm trên $\overline{AC}$ và $\overline{AB}$ sao cho $AK = CK,$ và $\overline{CL}$ là góc phân giác của góc $C.$ Gọi $P$ là giao điểm của $\overline{BK}$ và $\overline{CL},$ và gọi $M$ là điểm trên đường thẳng $BK$ trong đó $K$ là trung điểm của $\overline{PM}.$ Nếu $AM = 180,$ tìm $LP.$
