Trong số $900$ cư dân của Aimeville, có $195$ sở hữu một chiếc nhẫn kim cương, $367$ sở hữu một bộ gậy chơi gôn và $562$ sở hữu một chiếc thuổng làm vườn. Ngoài ra, mỗi cư dân $900$ đều sở hữu một túi kẹo trái tim. Có $437$ cư dân sở hữu chính xác hai trong số những thứ này và $234$ cư dân sở hữu chính xác ba trong số những thứ này. Tìm số cư dân của Aimeville sở hữu cả bốn thứ này.
Tìm số cách đặt một chữ số vào mỗi ô của lưới $2 \times 3$ sao cho tổng của hai số được tạo thành bằng cách đọc từ trái sang phải là $999,$ và tổng của ba số được tạo thành bằng cách đọc từ trên xuống dưới là $99.$ Lưới bên dưới là một ví dụ về cách sắp xếp như vậy vì $8 + 991 = 999$ và $9 + 9 + 81 = 99.$
Đặt $x,$ $y,$ và $z$ là các số thực dương thỏa mãn hệ phương trình sau: $$
\log_2\left(\frac{x}{yz}\right) = \frac{1}{2}
$$ $$
\log_2\left(\frac{y}{xz}\right) = \frac{1}{3}
$$ $$
\log_2\left(\frac{z}{xy}\right) = \frac{1}{4}
$$
Khi đó giá trị của $\left|\log_2(x^4 y^3 z^2)\right|$ là $\frac{m}{n}$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$
Cho $ABCDEF$ là một hình lục giác đều lồi trong đó tất cả các cặp cạnh đối diện đều song song. Tam giác có các cạnh là phần mở rộng của các đoạn $\overline{AB},$ $\overline{CD},$ và $\overline{EF}$ có độ dài các cạnh $200,$ $240,$ và $300.$ Tìm độ dài cạnh của hình lục giác.
Alice chọn một tập hợp $A$ số nguyên dương. Sau đó, Bob liệt kê tất cả các tập hợp hữu hạn khác trống $B$ gồm các số nguyên dương với thuộc tính là phần tử lớn nhất của $B$ thuộc về $A.$ Danh sách của Bob có các tập hợp $2024$. Tìm tổng các phần tử của $A.$
Đặt $N$ là số nguyên lớn nhất có bốn chữ số với đặc tính là bất cứ khi nào một trong các chữ số của nó được thay đổi thành $1,$ thì số kết quả là chia hết cho $7.$ Đặt $Q$ và $R$ lần lượt là thương và số dư khi $N$ được chia cho $1000.$ Tìm $Q + R.$
Hình xuyến $T$ là bề mặt được tạo ra bằng cách quay một vòng tròn có bán kính $3$ quanh một trục trong mặt phẳng của vòng tròn có khoảng cách $6$ tính từ tâm vòng tròn (giống như một chiếc bánh rán).
Giả sử $S$ là một hình cầu có bán kính $11.$ Khi $T$ nằm bên trong $S,$ nó tiếp xúc bên trong với $S$ dọc theo một đường tròn có bán kính $r_i,$ và khi $T$ nằm ở bên ngoài $S,$ nó tiếp tuyến ngoài với $S$ dọc theo một đường tròn có bán kính $r_o.$ Hiệu $r_i - r_o$ có thể được viết là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$
Có một bộ sưu tập $25$ chip trắng không thể phân biệt được và $25$ chip đen không thể phân biệt được. Tìm số cách đặt một số chip này vào lưới $5 \times 5$ sao cho:
• mỗi ô chứa nhiều nhất một chip
• tất cả các chip trong cùng một hàng và tất cả các chip trong cùng một cột có cùng màu, và
• bất kỳ chip bổ sung nào được đặt trên lưới sẽ vi phạm một hoặc nhiều điều kiện trong số hai điều kiện trước đó.
Cho $\triangle ABC$ có tâm đường tròn $I,$ tâm đường tròn $O,$ trong bán kính $6,$ và bán kính đường tròn $13.$ Giả sử rằng $\overline{IA} \perp \overline{OI}.$ Tìm $AB \cdot AC.$
Tìm số bộ ba số nguyên không âm $(a, b, c)$ thỏa mãn $a + b + c = 300$ và $$
\begin{aligned} &a^2 b + a^2 c \\ &\quad {}+ b^2 a + b^2 c \\ &\quad {}+ c^2 a + c^2 b = 6{,}000{,}000. \end{aligned}
$$
Đặt $O = (0, 0),$ $A = \left(\tfrac{1}{2}, 0\right),$ và $B = \left(0, \tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$ là các điểm trong mặt phẳng tọa độ. Đặt $\mathcal{F}$ là họ các đoạn $\overline{PQ}$ có độ dài đơn vị nằm trong góc phần tư thứ nhất với $P$ trên trục $x$ và $Q$ trên trục $y$. Có một điểm duy nhất $C$ trên $\overline{AB},$ khác biệt với $A$ và $B,$ không thuộc bất kỳ phân đoạn nào từ $\mathcal{F}$ ngoài $\overline{AB}.$ Sau đó $OC^2 = \tfrac{p}{q},$ trong đó $p$ và $q$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $p + q.$
Đặt $\omega \neq 1$ là nghiệm thứ $13$ của sự thống nhất. Tìm số dư khi $$
\prod_{k=0}^{12} \left(2 - 2\omega^k + \omega^{2k}\right)
$$ được chia cho $1000.$
Đặt $b \ge 2$ là một số nguyên. Gọi một số nguyên dương $n$ *$b$-eautiful* nếu nó có chính xác hai chữ số khi được biểu thị trong cơ số $b$ và hai chữ số này tổng bằng $\sqrt{n}.$ Ví dụ: $81$ là $13$-đẹp vì $81 = \underline{6}\,\underline{3}_{13}$ và $6 + 3 = \sqrt{81}.$ Tìm số nguyên nhỏ nhất $b \ge 2$ có nhiều hơn mười $b$-số nguyên đẹp.
Tìm số hình chữ nhật có thể tạo thành bên trong một hình mười hai cạnh đều cố định ($12$-gon) trong đó mỗi cạnh của hình chữ nhật nằm trên một cạnh hoặc một đường chéo của hình mười hai cạnh. Sơ đồ dưới đây cho thấy ba trong số những hình chữ nhật đó.
