Số $$
\frac{2}{\log_4 2000^6} + \frac{3}{\log_5 2000^6}
$$ có thể được viết là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$
Một bộ bài gồm bốn mươi lá bài bao gồm bốn $1$, bốn $2$, $\ldots,$ và bốn $10$. Một cặp giống nhau (hai lá bài có cùng số) sẽ bị lấy ra khỏi bộ bài. Cho rằng những lá bài này không được trả lại bộ bài, hãy đặt $\frac{m}{n}$ là xác suất mà hai lá bài được chọn ngẫu nhiên cũng tạo thành một cặp, trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$
Cho tám chiếc nhẫn có thể phân biệt được, gọi $n$ là số cách sắp xếp năm chiếc nhẫn có thể có trên bốn ngón tay (không phải ngón cái) của một bàn tay. Thứ tự đeo nhẫn trên mỗi ngón tay rất quan trọng nhưng không nhất thiết mỗi ngón tay đều phải có một chiếc nhẫn. Tìm ba chữ số khác 0 ngoài cùng bên trái của $n.$
Một cơ sở của hình thang dài hơn đơn vị $100$ so với cơ sở kia. Đoạn nối trung điểm của các chân chia hình thang thành hai vùng có diện tích tỉ lệ $2 : 3.$ Gọi $x$ là độ dài đoạn nối các chân của hình thang song song với hai đáy và chia hình thang thành hai vùng bằng nhau diện tích. Tìm số nguyên lớn nhất không vượt quá $\frac{x^2}{100}.$
Cho rằng $$
\begin{aligned} &\frac{1}{2!17!} + \frac{1}{3!16!} + \frac{1}{4!15!} \\ &\quad {}+ \frac{1}{5!14!} + \frac{1}{6!13!} + \frac{1}{7!12!} \\ &\quad {}+ \frac{1}{8!11!} + \frac{1}{9!10!} = \frac{N}{1!18!}, \end{aligned}
$$ tìm số nguyên lớn nhất nhỏ hơn $\frac{N}{100}.$
Trong hình thang $ABCD,$ chân $\overline{BC}$ vuông góc với các đáy $\overline{AB}$ và $\overline{CD},$ và các đường chéo $\overline{AC}$ và $\overline{BD}$ vuông góc. Cho rằng $AB = \sqrt{11}$ và $AD = \sqrt{1001},$ tìm $BC^2.$
Một đường tròn nội tiếp là tứ giác $ABCD,$ tiếp xúc với $\overline{AB}$ tại $P$ và với $\overline{CD}$ tại $Q.$ Cho rằng $AP = 19,$ $PB = 26,$ $CQ = 37,$ và $QD = 23,$ tìm bình phương bán kính của hình tròn.
Tọa độ các đỉnh của hình cân hình thang $ABCD$ đều là số nguyên, với $A = (20, 100)$ và $D = (21, 107).$ hình thang không có cạnh ngang hoặc dọc và $\overline{AB}$ và $\overline{CD}$ là các cạnh song song duy nhất. Tổng các giá trị tuyệt đối của tất cả các hệ số góc có thể có của $\overline{AB}$ là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$
Các điểm $A,$ $B,$ và $C$ nằm trên bề mặt của một mặt cầu có tâm $O$ và bán kính $20.$ Người ta cho rằng $AB = 13,$ $BC = 14,$ $CA = 15,$ và khoảng cách từ $O$ đến tam giác $ABC$ là $\frac{m\sqrt{n}}{k},$ trong đó $m,$ $n,$ và $k$ là các số nguyên dương, $m$ và $k$ là các số nguyên tố cùng nhau và $n$ không phải là số nguyên dương chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào. Tìm $m + n + k.$
Phương trình $2000x^6 + 100x^5 + 10x^3$ $+ x - 2 = 0$ có chính xác hai nghiệm thực, một trong số đó là $\frac{m + \sqrt{n}}{r},$ trong đó $m,$ $n,$ và $r$ là các số nguyên, $m$ và $r$ là các số nguyên tố cùng nhau và $r \gt 0.$ Tìm $m + n + r.$
Mọi số nguyên dương $k$ có một khai triển cơ số giai thừa duy nhất $(f_1, f_2, f_3, \ldots, f_m),$ có nghĩa là $k = 1! \cdot f_1 + 2! \cdot f_2$ $+ 3! \cdot f_3 + \cdots + m! \cdot f_m,$ trong đó mỗi $f_i$ là một số nguyên, $0 \le f_i \le i,$ và $0 \lt f_m.$ Cho rằng $(f_1, f_2, f_3, \ldots, f_j)$ là khai triển cơ số giai thừa của $$
\begin{aligned} &16! - 32! + 48! \\ &\quad {}- 64! + \cdots + 1968! \\ &\quad {}- 1984! + 2000!, \end{aligned}
$$ tìm giá trị của $f_1 - f_2 + f_3$ $- f_4 + \cdots + (-1)^{j+1} f_j.$
Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $n$ sao cho dù $10^n$ được biểu diễn dưới dạng tích của hai số nguyên dương bất kỳ như thế nào, ít nhất một trong hai số nguyên này chứa chữ số $0.$
Đặt $u$ và $v$ là các số nguyên thỏa mãn $0 \lt v \lt u.$ Đặt $A = (u, v),$ đặt $B$ là hình chiếu của $A$ qua đường thẳng $y = x,$ đặt $C$ là hình chiếu của $B$ qua trục $y$, đặt $D$ là hình phản chiếu của $C$ qua trục $x$ và để $E$ là hình phản chiếu của $D$ qua trục $y$. diện tích của ngũ giác $ABCDE$ là $451.$ Tìm $u + v.$
Trong khai triển của $(ax + b)^{2000},$ trong đó $a$ và $b$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau, các hệ số của $x^2$ và $x^3$ bằng nhau. Tìm $a + b.$
Sơ đồ hiển thị một hình chữ nhật đã được chia thành chín hình vuông không chồng lên nhau. Cho rằng chiều rộng và chiều cao của hình chữ nhật là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau, hãy tìm chu vi của hình chữ nhật.
Mỗi hộp trong số hai hộp chứa cả hai viên bi đen và trắng, và tổng số viên bi trong hai hộp là $25.$ Một viên bi được lấy ngẫu nhiên ra khỏi mỗi hộp. xác suất mà cả hai viên bi đều có màu đen là $\frac{27}{50},$ và xác suất mà cả hai viên bi đều có màu trắng là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. $m + n?$ là gì
