Một tổ chức toán học đang sản xuất một bộ biển số xe kỷ niệm. Mỗi biển số chứa một chuỗi năm ký tự được chọn từ bốn chữ cái trong AIME và bốn chữ số trong $2007.$ Không có ký tự nào có thể xuất hiện trong một chuỗi nhiều lần hơn số lần xuất hiện trong số bốn chữ cái trong AIME hoặc bốn chữ số trong $2007.$ Một bộ biển số trong đó mỗi chuỗi có thể xuất hiện đúng một lần chứa biển số xe $N$. Tìm $\frac{N}{10}.$
Tìm số bộ ba có thứ tự $(a, b, c)$ trong đó $a,$ $b,$ và $c$ là các số nguyên dương, $a$ là một thừa số của $b,$ $a$ là một thừa số của $c,$ và $a + b + c = 100.$
Các công nhân trong một nhà máy sản xuất các vật dụng và trò chơi khăm. Đối với mỗi sản phẩm, thời gian sản xuất là không đổi và giống nhau đối với tất cả công nhân, nhưng không nhất thiết phải bằng nhau đối với hai sản phẩm. Trong một giờ, $100$ công nhân có thể sản xuất $300$ vật dụng và $200$ whoosits. Trong hai giờ, $60$ công nhân có thể sản xuất $240$ vật dụng và $300$ whoosits. Trong ba giờ, $50$ công nhân có thể sản xuất $150$ vật dụng và $m$ whoosits. Tìm $m.$
Đồ thị của phương trình $9x + 223y = 2007$ được vẽ trên giấy vẽ đồ thị với mỗi hình vuông biểu thị một đơn vị theo mỗi hướng. Có bao nhiêu ô vuông trên giấy vẽ đồ thị $1$ x $1$ có phần bên trong nằm hoàn toàn bên dưới đồ thị và hoàn toàn nằm trong góc phần tư thứ nhất?
Một số nguyên được gọi là *chẵn lẻ-đơn điệu* nếu biểu diễn thập phân $a_1 a_2 a_3 \ldots a_k$ của nó thỏa mãn $a_i \lt a_{i+1}$ nếu $a_i$ là số lẻ và $a_i \gt a_{i+1}$ nếu $a_i$ là số chẵn. Có bao nhiêu số nguyên chẵn lẻ đơn điệu có bốn chữ số?
Cho một số thực $x,$ giả sử $\lfloor x \rfloor$ biểu thị số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng $x.$ Với một số nguyên nhất định $k,$ có chính xác $70$ số nguyên dương $n_1,$ $n_2,$ $\ldots,$ $n_{70}$ sao cho $$
\begin{aligned} k &= \lfloor\sqrt[3]{n_1}\rfloor = \lfloor\sqrt[3]{n_2}\rfloor \\ &= \cdots = \lfloor\sqrt[3]{n_{70}}\rfloor \end{aligned}
$$ và $k$ chia $n_i$ cho tất cả $i$ sao cho $1 \le i \le 70.$ Tìm giá trị lớn nhất của $\frac{n_i}{k}$ cho $1 \le i \le 70.$
Một mảnh giấy hình chữ nhật có kích thước $4$ đơn vị x $5$ đơn vị. Một số đường được vẽ song song với các cạnh của tờ giấy. Hình chữ nhật được xác định bởi giao điểm của một số đường thẳng này được gọi là *cơ bản* nếu (i) tất cả bốn cạnh của hình chữ nhật là các đoạn thẳng được vẽ và (ii) không có đoạn đường vẽ nào nằm bên trong hình chữ nhật.
Cho rằng tổng chiều dài của tất cả các đường được vẽ chính xác là $2007$ đơn vị, hãy đặt $N$ là số lượng hình chữ nhật cơ bản tối đa có thể được xác định. Tìm số dư khi $N$ được chia cho $1000.$
Hình chữ nhật $ABCD$ có $AB = 63$ và $BC = 448.$ Điểm $E$ và $F$ lần lượt nằm trên $\overline{AD}$ và $\overline{BC}$ sao cho $AE = CF = 84.$ Đường tròn nội tiếp tam giác $BEF$ tiếp tuyến với $\overline{EF}$ tại điểm $P,$ và đường tròn nội tiếp tam giác $DEF$ tiếp xúc với $\overline{EF}$ tại điểm $Q.$ Tìm $PQ.$
Đặt $S$ là một tập hợp có sáu phần tử. Đặt $P$ là tập hợp tất cả các tập con của $S.$ Tập con $A$ và $B$ của $S,$ không nhất thiết phải khác biệt, được chọn độc lập và ngẫu nhiên từ $P.$ xác suất mà $B$ là chứa trong ít nhất một trong $A$ hoặc $S - A$ là $\frac{m}{n^r},$ trong đó $m,$ $n,$ và $r$ là số nguyên dương, $n$ là số nguyên tố và $m$ và $n$ tương đối nguyên tố. Tìm $m + n + r.$ (Tập hợp $S - A$ là tập hợp tất cả các phần tử của $S$ không thuộc $A.$)
Hai ống hình trụ dài có cùng chiều dài nhưng đường kính khác nhau nằm song song với nhau trên một mặt phẳng. Ống lớn hơn có bán kính $72$ và lăn dọc theo bề mặt về phía ống nhỏ hơn có bán kính $24.$ Nó lăn trên ống nhỏ hơn và tiếp tục lăn dọc theo bề mặt phẳng cho đến khi nó dừng lại trên cùng một điểm của chu vi đường tròn khi nó bắt đầu, sau khi thực hiện một vòng quay hoàn chỉnh. Nếu ống nhỏ hơn không bao giờ di chuyển và quá trình lăn diễn ra không bị trượt thì ống lớn hơn sẽ kết thúc một khoảng cách $x$ tính từ nơi nó bắt đầu. Khoảng cách $x$ có thể được biểu thị dưới dạng $a\pi + b\sqrt{c},$ trong đó $a,$ $b,$ và $c$ là số nguyên và $c$ không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào. Tìm $a + b + c.$
cấp số nhân $x_0,$ $x_1,$ $x_2,$ $\ldots$ bao gồm hoàn toàn các lũy thừa nguyên của $3.$ Cho rằng $$
\sum_{n=0}^{7} \log_3(x_n) = 308
$$ và $$
56 \le \log_3\left(\sum_{n=0}^{7} x_n\right) \le 57,
$$ tìm $\log_3(x_{14}).$
Một mảng hình tam giác gồm các hình vuông có một hình vuông ở hàng đầu tiên, hai hình vuông ở hàng thứ hai và nói chung, $k$ hình vuông ở hàng thứ $k$cho $1 \le k \le 11.$ Ngoại trừ hàng dưới cùng, mỗi hình vuông nằm trên hai hình vuông ở hàng ngay bên dưới, như được minh họa trong hình. Trong mỗi ô của hàng thứ mười một, một $0$ hoặc $1$ được đặt. Sau đó, các số được đặt vào các ô vuông khác, với mục nhập cho mỗi ô vuông là tổng của các mục trong hai ô vuông bên dưới nó. Đối với bao nhiêu lần phân phối ban đầu của $0$ và $1$ ở hàng dưới cùng thì số ở ô vuông trên cùng a bội số của $3?$
Bốn đường tròn $\omega,$ $\omega_A,$ $\omega_B,$ và $\omega_C$ có cùng bán kính được vẽ bên trong tam giác $ABC$ sao cho $\omega_A$ tiếp tuyến với các cạnh $AB$ và $AC,$ $\omega_B$ đến $BC$ và $BA,$ $\omega_C$ đến $CA$ và $CB,$ và $\omega$ tiếp tuyến ngoài với $\omega_A,$ $\omega_B,$ và $\omega_C.$ Nếu các cạnh của tam giác $ABC$ là $13,$ $14,$ và $15,$ thì bán kính của $\omega$ có thể được biểu diễn dưới dạng $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$
Lối đi di chuyển dài $100$ foot di chuyển với tốc độ không đổi $6$ foot mỗi giây. Al bước lên đầu lối đi và đứng dậy. Bob bước lên đầu lối đi hai giây sau đó và đi về phía trước dọc theo lối đi với tốc độ không đổi $4$ feet mỗi giây. Hai giây sau đó, Cy đến đầu lối đi và bước nhanh về phía trước bên cạnh lối đi với tốc độ không đổi $8$ feet mỗi giây. Tại một thời điểm nhất định, một trong ba người này ở chính xác giữa hai người còn lại. Vào thời điểm đó, hãy tìm khoảng cách tính bằng feet giữa điểm bắt đầu của lối đi và người ở giữa.
Ba hành tinh quay quanh một ngôi sao theo quỹ đạo tròn đồng phẳng với ngôi sao ở trung tâm. Tất cả các hành tinh đều quay theo cùng một hướng, mỗi hành tinh có tốc độ không đổi và chu kỳ quỹ đạo của chúng là $60,$ $84,$ và $140$ năm. Vị trí của ngôi sao và cả ba hành tinh hiện nay thẳng hàng. Tiếp theo, chúng sẽ thẳng hàng sau $n$ năm. Tìm $n.$
Công thức chuyển đổi nhiệt độ Fahrenheit $F$ thành nhiệt độ độ C tương ứng $C$ là $C = \frac{5}{9}(F - 32).$ Một nhiệt độ nguyên Fahrenheit được chuyển đổi thành độ C và làm tròn đến số nguyên gần nhất; nhiệt độ số nguyên kết quả được chuyển đổi trở lại độ F và được làm tròn đến số nguyên gần nhất. Với bao nhiêu nhiệt độ nguyên Fahrenheit $T$ với $32 \le T \le 1000$ thì nhiệt độ ban đầu bằng nhiệt độ cuối cùng?
