Zou và Chou đang luyện tập chạy nước rút $100$ mét bằng cách chạy các cuộc đua $6$ với nhau. Zou thắng cuộc đua đầu tiên, và sau đó, xác suất mà một trong số họ thắng cuộc đua là $\frac{2}{3}$ nếu họ thắng cuộc đua trước nhưng chỉ $\frac{1}{3}$ nếu họ thua cuộc đua trước. xác suất mà Zou sẽ thắng chính xác $5$ của $6$ cuộc đua là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$
Trong sơ đồ bên dưới, $ABCD$ là hình chữ nhật có độ dài các cạnh $AB = 3$ và $BC = 11,$ và $AECF$ là hình chữ nhật có độ dài các cạnh $AF = 7$ và $FC = 9,$ như hình minh họa. diện tích của vùng bóng mờ chung cho phần bên trong của cả hai hình chữ nhật là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$
Tìm số cách $66$ những đồng xu giống nhau có thể được chia thành ba đống không trống sao cho có ít đồng xu ở chồng đồng xu thứ nhất hơn chồng đồng xu thứ hai và ít đồng xu ở chồng đồng xu thứ hai hơn ở chồng đồng xu thứ ba.
Gọi một số nguyên tăng dần ba số hạng cấp số cộng của các số nguyên *đặc biệt* nếu tổng bình phương của ba số hạng bằng tích của số hạng ở giữa và bình phương của hiệu chung. Tìm tổng các số hạng thứ ba của tất cả các dãy đặc biệt.
Các đoạn $\overline{AB},$ $\overline{AC},$ và $\overline{AD}$ là các cạnh của hình lập phương và $\overline{AG}$ là đường chéo đi qua tâm của hình lập phương. Điểm $P$ thỏa mãn $BP = 60\sqrt{10},$ $CP = 60\sqrt{5},$ $DP = 120\sqrt{2},$ và $GP = 36\sqrt{7}.$ Tìm $AP.$
Giả sử $ABCD$ là một cân đối hình thang với $AD = BC$ và $AB \lt CD.$ Giả sử rằng khoảng cách từ $A$ đến các đường $BC,$ $CD,$ và $BD$ là $15,$ $18,$ và $10,$ tương ứng. Đặt $K$ là diện tích của $ABCD.$ Tìm $\sqrt{2} \cdot K.$
Xét dãy $(a_k)_{k \ge 1}$ gồm các số hữu tỷ dương được xác định bởi $a_1 = \frac{2020}{2021}$ và với $k \ge 1,$ nếu $a_k = \frac{m}{n}$ cho các số nguyên dương tương đối $m$ và $n,$ thì $$
a_{k+1} = \frac{m + 18}{n + 19}.
$$ Xác định tổng của tất cả các số nguyên dương $j$ như vậy rằng số hữu tỷ $a_j$ có thể được viết dưới dạng $\frac{t}{t+1}$ cho một số nguyên dương $t.$
Đặt $ABCD$ là một tứ giác nội tiếp với $AB = 4,$ $BC = 5,$ $CD = 6,$ và $DA = 7.$ Đặt $A_1$ và $C_1$ là chân các đường vuông góc từ $A$ và $C,$ tương ứng với đường thẳng $BD,$ và đặt $B_1$ và $D_1$ lần lượt là chân các đường vuông góc từ $B$ và $D,$ đến đường thẳng $AC.$ chu vi của $A_1B_1C_1D_1$ là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$
Cho $A_1A_2A_3 \ldots A_{12}$ là một hình mười hai cạnh ($12$-gon). Ban đầu, ba con ếch ngồi ở $A_4,$ $A_8,$ và $A_{12}.$ Vào cuối mỗi phút, đồng thời, mỗi con trong số ba con ếch nhảy đến một trong hai đỉnh liền kề với vị trí hiện tại của nó, được chọn ngẫu nhiên và độc lập với cả hai lựa chọn đều có khả năng xảy ra như nhau. Cả ba con ếch đều ngừng nhảy ngay khi có hai con ếch cùng đến một đỉnh cùng một lúc. Số phút dự kiến cho đến khi ếch ngừng nhảy là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$
Các đường tròn $\omega_1$ và $\omega_2$ có bán kính $961$ và $625,$ lần lượt cắt nhau tại các điểm phân biệt $A$ và $B.$ Đường tròn thứ ba $\omega$ tiếp xúc ngoài với cả $\omega_1$ và $\omega_2.$ Giả sử đường thẳng $AB$ cắt $\omega$ tại hai điểm $P$ và $Q$ sao cho số đo của cung nhỏ $\widehat{PQ}$ là $120^\circ.$ Tìm khoảng cách giữa tâm của $\omega_1$ và $\omega_2.$
Đối với mọi số nguyên dương $a,$ $\sigma(a)$ biểu thị tổng các ước số nguyên dương của $a.$ Đặt $n$ là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho $\sigma(a^n) - 1$ là chia hết cho $2021$ cho tất cả các số nguyên dương $a.$ Tìm tổng các thừa số nguyên tố trong hệ số nguyên tố của $n.$
Đặt $S$ là tập hợp các số nguyên dương $k$ sao cho hai parabol $$
y = x^2 - k
$$ và $$
x = 2(y - 20)^2 - k
$$ cắt nhau tại bốn điểm phân biệt và bốn điểm này nằm trên một đường tròn có bán kính nhiều nhất $21.$ Tìm tổng phần tử nhỏ nhất của $S$ và phần tử lớn nhất của $S.$
