Ngân hàng câu hỏi AIME 1989

Tính toán $\sqrt{(31)(30)(29)(28)+1}.$

Mười điểm được đánh dấu trên một vòng tròn. Có thể vẽ được bao nhiêu đa giác lồi khác nhau có ba cạnh trở lên bằng cách sử dụng một số (hoặc tất cả) trong số mười điểm làm đỉnh?

Giả sử $n$ là số nguyên dương và $d$ là một chữ số trong cơ số $10.$ Tìm $n$ if $$
\frac{n}{810}=0.d25d25d25\ldots.
$$

Nếu $a<b<c<d<e$ là các số nguyên dương liên tiếp sao cho $b+c+d$ là số chính phương và $a+b+c+d+e$ là một khối lập phương hoàn hảo, thì giá trị nhỏ nhất có thể có của $c?$ là bao nhiêu?

Khi một đồng xu thiên vị nhất định được tung lên năm lần, xác suất của việc nhận được mặt ngửa đúng một lần không bằng $0$ và tương tự như khả năng nhận được mặt ngửa đúng hai lần. Giả sử $\frac{i}{j},$ theo số hạng thấp nhất, là xác suất mà đồng xu ngửa chính xác trong $3$ trong số $5$ lần tung. Tìm $i+j.$

Hai vận động viên trượt băng, Allie và Billie, lần lượt ở các điểm $A$ và $B,$ trên một mặt hồ phẳng, đóng băng. Khoảng cách giữa $A$ và $B$ là $100$ mét. Allie rời khỏi $A$ và trượt với tốc độ $8$ mét trên giây trên một đường thẳng tạo thành một góc $60^\circ$ với $AB.$ Đồng thời Allie rời khỏi $A,$ Billie rời khỏi $B$ với tốc độ $7$ mét mỗi giây và đi theo con đường thẳng tạo ra cuộc gặp gỡ sớm nhất có thể có của hai vận động viên trượt băng, với tốc độ của họ. Allie trượt bao nhiêu mét trước khi gặp Billie?

Nếu số nguyên $k$ được thêm vào mỗi số $36,$ $300,$ và $596,$ thì người ta thu được bình phương của ba số hạng liên tiếp của một chuỗi số học. Tìm $k.$

Giả sử rằng $x_1,$ $x_2,$ $\ldots,$ $x_7$ là các số thực sao cho

$$
\begin{aligned}x_1+4x_2+9x_3&\\+16x_4+25x_5&\\+36x_6+49x_7&=1,\\4x_1+9x_2+16x_3&\\+25x_4+36x_5&\\+49x_6+64x_7&=12,\\9x_1+16x_2+25x_3&\\+36x_4+49x_5&\\+64x_6+81x_7&=123.\end{aligned}
$$

Tìm giá trị của

$$
\begin{aligned}16x_1+25x_2+36x_3&\\+49x_4+64x_5&\\+81x_6+100x_7.&\end{aligned}
$$

Một trong những giả thuyết của Euler đã bị ba nhà toán học người Mỹ bác bỏ trong $1960$ khi họ chỉ ra rằng có một số nguyên dương $n$ sao cho $$
133^5+110^5+84^5+27^5=n^5.
$$ Tìm giá trị của $n.$

Gọi $a,$ $b,$ $c$ là ba cạnh của một tam giác và đặt $\alpha,$ $\beta,$ $\gamma$ là các góc đối diện với chúng. Nếu $a^2+b^2=1989c^2,$ tìm thấy $$
\frac{\cot\gamma}{\cot\alpha+\cot\beta}.
$$

Một mẫu gồm các số nguyên $121$ được đưa ra, mỗi số nguyên nằm trong khoảng từ $1$ đến $1000$, cho phép lặp lại. Mẫu có một chế độ duy nhất (giá trị thường xuyên nhất). Đặt $D$ là sự khác biệt giữa chế độ và số học trung bình cộng của mẫu. Giá trị lớn nhất có thể có của $\lfloor D\rfloor?$ là bao nhiêu (Đối với $x,$ $\lfloor x\rfloor$ thực là số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng $x.$)

Giả sử $ABCD$ là một tứ diện với $AB=41,$ $AC=7,$ $AD=18,$ $BC=36,$ $BD=27,$ và $CD=13,$ như trong hình. Gọi $d$ là khoảng cách giữa trung điểm của các cạnh $AB$ và $CD.$ Tìm $d^2.$

Giả sử $S$ là tập con của $\{1,2,3,\ldots,1989\}$ sao cho không có hai thành viên nào của $S$ khác nhau bởi $4$ hoặc $7.$ Số phần tử lớn nhất $S$ có thể có là bao nhiêu?

Cho số nguyên dương $n$. Mỗi số phức khác $0$ có dạng $r+si$, với $r,s$ là các số nguyên, đều có biểu diễn duy nhất trong cơ số $-n+i$, sử dụng các số nguyên $0,1,\ldots,n^2$ làm chữ số. Cụ thể,

$$\begin{aligned}r+si={}&a_m(-n+i)^m\\&+a_{m-1}(-n+i)^{m-1}\\&+\cdots+a_1(-n+i)+a_0\end{aligned}$$

với duy nhất một số nguyên không âm $m$ và các chữ số $a_0,a_1,\ldots,a_m$ thuộc tập $\{0,1,2,\ldots,n^2\}$, trong đó $a_m\ne0$. Riêng số $0$ được biểu diễn bằng một chữ số $0$. Ta viết

$$r+si=(a_ma_{m-1}\ldots a_1a_0)_{-n+i}$$

để chỉ biểu diễn trong cơ số này. Chỉ có hữu hạn số nguyên $k+0i$ có biểu diễn gồm đúng bốn chữ số

$$k=(a_3a_2a_1a_0)_{-3+i},\qquad a_3\ne0.$$

Tính tổng tất cả các số nguyên $k$ như vậy.

Điểm $P$ nằm trong tam giác $ABC.$ Các đoạn thẳng $APD,$ $BPE,$ và $CPF$ được vẽ bằng $D$ trên $BC,$ $E$ trên $AC,$ và $F$ trên $AB$ (xem hình). Cho rằng $AP=6,$ $BP=9,$ $PD=6,$ $PE=3,$ và $CF=20,$ tìm diện tích của tam giác $ABC.$