Trong $\triangle ABC$ với $AB = AC,$ điểm $D$ nằm hoàn toàn giữa $A$ và $C$ về phía $\overline{AC},$ và điểm $E$ nằm hoàn toàn giữa $A$ và $B$ về phía $\overline{AB}$ sao cho $AE = ED = DB = BC.$ Số đo độ của $\angle ABC$ là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$
Có một số thực dương duy nhất $x$ sao cho ba số $\log_8(2x),$ $\log_4 x,$ và $\log_2 x,$ theo thứ tự đó, tạo thành một cấp số nhân có tỷ số chung dương. Số $x$ có thể được viết là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$
Một số nguyên dương $N$ có biểu diễn cơ số 11 $\underline{a}\,\underline{b}\,\underline{c}$ và biểu diễn cơ số 8 $\underline{1}\,\underline{b}\,\underline{c}\,\underline{a},$ trong đó $a,$ $b,$ và $c$ biểu thị các chữ số (không nhất thiết phải khác biệt). Tìm $N$ nhỏ nhất như vậy được biểu thị trong cơ số mười.
Đặt $S$ là tập hợp các số nguyên dương $N$ với thuộc tính là bốn chữ số cuối của $N$ là $2020,$ và khi loại bỏ bốn chữ số cuối, kết quả là ước của $N.$ Ví dụ: $42{,}020$ nằm trong $S$ vì $4$ là ước của $42{,}020.$ Tìm tổng của tất cả các chữ số của tất cả các số trong $S.$ Ví dụ: số $42{,}020$ đóng góp $4 + 2 + 0 + 2 + 0 = 8$ vào tổng này.
Sáu thẻ được đánh số $1$ đến $6$ sẽ được xếp thành một hàng. Tìm số cách sắp xếp của sáu thẻ này trong đó một trong các thẻ có thể được loại bỏ để lại năm thẻ còn lại theo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần.
Một tấm ván phẳng có một lỗ tròn bán kính $1$ và một lỗ tròn có bán kính $2$ sao cho khoảng cách giữa tâm của hai lỗ là $7.$ Hai quả cầu có bán kính bằng nhau nằm trong hai lỗ sao cho hai quả cầu tiếp xúc với nhau. Bình phương bán kính của hình cầu là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$
Một câu lạc bộ bao gồm $11$ nam và $12$ nữ cần chọn một ủy ban trong số các thành viên của mình sao cho số lượng nữ trong ủy ban nhiều hơn số nam trong ủy ban. Ủy ban có thể có ít nhất $1$ thành viên hoặc nhiều nhất là $23$ thành viên. Gọi $N$ là số lượng ủy ban có thể được thành lập. Tìm tổng các số nguyên tố chia $N.$
Một con bọ đi suốt ngày và ngủ suốt đêm. Vào ngày đầu tiên, nó bắt đầu tại điểm $O,$ hướng về phía đông và đi được một khoảng $5$ đơn vị về hướng đông. Mỗi đêm lỗi quay vòng $60^\circ$ ngược chiều kim đồng hồ. Mỗi ngày nó đi theo hướng mới này một nửa quãng đường nó đã đi ngày hôm trước. Lỗi có thể tùy ý tiến gần đến điểm $P.$ Sau đó $OP^2 = \frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$
Đặt $S$ là tập hợp các ước số nguyên dương của $20^9.$ Ba số được chọn độc lập và ngẫu nhiên từ tập hợp $S$ và được gắn nhãn $a_1,$ $a_2,$ và $a_3$ theo thứ tự chúng được chọn. xác suất mà cả $a_1$ chia hết cho $a_2$ và $a_2$ chia cho $a_3$ là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m.$
Đối với số nguyên $a,$ $b,$ $c,$ và $d,$ hãy để $f(x) = x^2 + ax + b$ và $g(x) = x^2 + cx + d.$ Tìm số bộ ba có thứ tự $(a, b, c)$ của các số nguyên có giá trị tuyệt đối không vượt quá $10$ mà có một số nguyên $d$ sao cho $g(f(2)) = g(f(4)) = 0.$
Điểm $D$ nằm trên cạnh $\overline{BC}$ của $\triangle ABC$ sao cho $\overline{AD}$ chia đôi $\angle BAC.$ Đường trung trực của $\overline{AD}$ cắt các đường phân giác của $\angle ABC$ và $\angle ACB$ tại điểm $E$ và $F,$ tương ứng. Cho rằng $AB = 4,$ $BC = 5,$ và $CA = 6,$ thì diện tích của $\triangle AEF$ có thể được viết là $\frac{m\sqrt{n}}{p},$ trong đó $m$ và $p$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố và $n$ là số nguyên dương không phải chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào. Tìm $m + n + p.$
Giả sử $P(x)$ là một đa thức bậc hai với các hệ số phức có $x^2$ hệ số là $1.$ Giả sử phương trình $P(P(x)) = 0$ có bốn nghiệm phân biệt, $x = 3,$ $4,$ $a,$ $b.$ Tìm tổng của tất cả các giá trị có thể có của $(a + b)^2.$
Cho $\triangle ABC$ là tam giác nhọn có đường tròn ngoại tiếp $\omega$ và trực tâm $H.$ Giả sử tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp $\triangle HBC$ tại $H$ cắt $\omega$ tại các điểm $X$ và $Y$ với $HA = 3,$ $HX = 2,$ và $HY = 6.$ diện tích của $\triangle ABC$ có thể được viết là $m\sqrt{n},$ trong đó $m$ và $n$ là số nguyên dương và $n$ thì không chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào. Tìm $m + n.$