Hai điểm khác nhau, $C$ và $D,$ nằm trên cùng một phía của đường thẳng $AB$ sao cho $\triangle ABC$ và $\triangle BAD$ là bằng nhau với $AB = 9,$ $BC = AD = 10,$ và $CA = DB = 17.$ Giao điểm của hai vùng tam giác này có diện tích $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$
Những miếng hoa súng $1,$ $2,$ $3,$ $\ldots$ nằm thành một hàng trên ao. Một con ếch thực hiện một chuỗi các bước nhảy bắt đầu trên miếng đệm $1.$ Từ bất kỳ miếng đệm $k$ con ếch nhảy đến miếng đệm $k + 1$ hoặc miếng đệm $k + 2$ được chọn ngẫu nhiên với xác suất $\frac{1}{2}$ và độc lập với các bước nhảy khác. xác suất mà con ếch ghé thăm bảng $7$ là $\frac{p}{q},$ trong đó $p$ và $q$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $p + q.$
Một xúc xắc công bằng sáu mặt tiêu chuẩn được tung ra bốn lần. xác suất mà tích của cả bốn số được tung ra là số chính phương là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$
Bốn đại sứ và một cố vấn cho mỗi người sẽ ngồi ở một bàn tròn có $12$ ghế được đánh số theo thứ tự $1$ đến $12.$ Mỗi đại sứ phải ngồi trên một chiếc ghế được đánh số chẵn. Mỗi cố vấn phải ngồi trên chiếc ghế cạnh đại sứ của mình. Có $N$ cách để $8$ người ngồi vào bàn trong những điều kiện này. Tìm số dư khi $N$ được chia cho $1000.$
Trong nền văn minh sao Hỏa, tất cả logarit có cơ số không được chỉ định đều được coi là cơ số $b,$ cho một số $b \ge 2.$ cố định Một học sinh sao Hỏa viết ra $$
3\log(\sqrt{x}\log x) = 56
$$ $$
\log_{\log x}(x) = 54
$$ và thấy rằng hệ phương trình này có một nghiệm số thực duy nhất $x \gt 1.$ Tìm $b.$
Tam giác $ABC$ có độ dài các cạnh $AB = 120,$ $BC = 220,$ và $AC = 180.$ Các đường thẳng $\ell_A,$ $\ell_B,$ và $\ell_C$ được vẽ song song với $\overline{BC},$ $\overline{AC},$ và $\overline{AB},$ tương ứng, sao cho các giao điểm của $\ell_A,$ $\ell_B,$ và $\ell_C$ với phần bên trong của $\triangle ABC$ lần lượt là các đoạn có độ dài $55,$ $45,$ và $15,$. Tìm chu vi của tam giác có các cạnh nằm trên các đường thẳng $\ell_A,$ $\ell_B,$ và $\ell_C.$
Đa thức $f(z) = az^{2018} + bz^{2017} + cz^{2016}$ có hệ số thực không vượt quá $2019,$ và $f\left(\frac{1 + \sqrt{3}i}{2}\right) = 2015 + 2019\sqrt{3}i.$ Tìm số dư khi $f(1)$ chia cho $1000.$
Gọi số nguyên dương $n$ *$k$-pretty* nếu $n$ có chính xác $k$ ước số dương và $n$ là chia hết cho $k.$ Ví dụ: $18$ là $6$-đẹp. Đặt $S$ là tổng của các số nguyên dương nhỏ hơn $2019$ là $20$-đẹp. Tìm $\frac{S}{20}.$
Có một góc duy nhất $\theta$ giữa $0^\circ$ và $90^\circ$ sao cho đối với số nguyên không âm $n,$ giá trị của $\tan(2^n\theta)$ là dương khi $n$ là bội số của $3,$ và âm nếu không. Số đo độ của $\theta$ là $\frac{p}{q},$ trong đó $p$ và $q$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $p + q.$
Tam giác $ABC$ có độ dài các cạnh $AB = 7,$ $BC = 8,$ và $CA = 9.$ Đường tròn $\omega_1$ đi qua $B$ và tiếp tuyến với đường thẳng $AC$ tại $A.$ Đường tròn $\omega_2$ đi qua qua $C$ và tiếp tuyến với đường thẳng $AB$ tại $A.$ Giả sử $K$ là giao điểm của các đường tròn $\omega_1$ và $\omega_2$ không bằng $A.$ Khi đó $AK = \frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$
Với $n \ge 1$ gọi một dãy hữu hạn $(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ gồm các số nguyên dương *lũy tiến* nếu $a_i \lt a_{i+1}$ và $a_i$ chia $a_{i+1}$ cho $1 \le i \le n - 1.$ Tìm số dãy lũy tiến sao cho tổng của các số hạng trong dãy bằng $360.$
Hình bát giác đều $A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8$ nội tiếp trong đường tròn diện tích $1.$ Điểm $P$ nằm bên trong đường tròn sao cho vùng giới hạn bởi $\overline{PA_1},$ $\overline{PA_2},$ và cung nhỏ $\overset{\frown}{A_1A_2}$ của đường tròn có diện tích $\frac{1}{7},$ trong khi vùng được giới hạn bởi $\overline{PA_3},$ $\overline{PA_4},$ và cung nhỏ $\overset{\frown}{A_3A_4}$ của đường tròn có diện tích $\frac{1}{9}.$ Có một số nguyên dương $n$ sao cho diện tích của vùng giới hạn bởi $\overline{PA_6},$ $\overline{PA_7},$ và cung nhỏ $\overset{\frown}{A_6A_7}$ của đường tròn bằng $\frac{1}{8} - \frac{\sqrt{2}}{n}.$ Tìm $n.$
Tìm tổng của tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho, với số lượng tem có mệnh giá không giới hạn $5,$ $n,$ và $n + 1$ xu, $91$ xu là bưu phí lớn nhất không thể hình thành được.
Trong tam giác nhọn $ABC,$ các điểm $P$ và $Q$ lần lượt là chân các đường vuông góc từ $C$ đến $\overline{AB}$ và từ $B$ đến $\overline{AC},$. Đường thẳng $PQ$ cắt đường tròn ngoại tiếp $\triangle ABC$ tại hai điểm phân biệt $X$ và $Y.$ Giả sử $XP = 10,$ $PQ = 25,$ và $QY = 15.$ Giá trị của $AB \cdot AC$ có thể được viết dưới dạng $m\sqrt{n},$ trong đó $m$ và $n$ là số nguyên dương và $n$ không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào. Tìm $m + n.$
Xét số nguyên $$
\begin{aligned} &N = 9 + 99 + 999 + 9999 \\ &\quad {}+ \cdots + \underbrace{99\ldots99}_{\text{321 digits}}. \end{aligned}
$$ Tìm tổng các chữ số của $N.$
Jenn chọn ngẫu nhiên một số $J$ từ $1,$ $2,$ $3,$ $\ldots,$ $19,$ $20.$ Bela sau đó chọn ngẫu nhiên một số $B$ từ $1,$ $2,$ $3,$ $\ldots,$ $19,$ $20$ khác biệt với $J.$ Giá trị của $B - J$ là ít nhất $2$ với xác suất có thể được biểu thị dưới dạng $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$
Trong $\triangle PQR,$ $PR = 15,$ $QR = 20,$ và $PQ = 25.$ Điểm $A$ và $B$ nằm trên $\overline{PQ},$ điểm $C$ và $D$ nằm trên $\overline{QR},$ và các điểm $E$ và $F$ nằm trên $\overline{PR},$ với $PA = QB = QC$ $= RD = RE = PF = 5.$ Tìm diện tích của lục giác $ABCDEF.$
Một đội bóng đá có sẵn $22$ cầu thủ. Một nhóm người chơi $11$ cố định bắt đầu trò chơi, trong khi $11$ khác có sẵn để thay thế. Trong trận đấu, huấn luyện viên có thể thực hiện tối đa $3$ sự thay người, trong đó bất kỳ một trong số $11$ cầu thủ trong trận đấu được thay thế bằng một trong những cầu thủ dự bị. Không người chơi nào bị xóa khỏi trò chơi có thể vào lại trò chơi, mặc dù người thay thế vào trò chơi có thể được thay thế sau đó. Không có hai sự thay thế có thể xảy ra cùng một lúc. Các cầu thủ tham gia và thứ tự thay người rất quan trọng. Gọi $n$ là số cách huấn luyện viên có thể thay người trong trận đấu (bao gồm cả khả năng không thay người). Tìm số dư khi $n$ được chia cho $1000.$
Một hạt chuyển động bắt đầu tại điểm $(4, 4)$ và di chuyển cho đến khi nó chạm vào một trong các trục tọa độ lần đầu tiên. Khi hạt ở điểm $(a, b),$, nó di chuyển ngẫu nhiên đến một trong các điểm $(a - 1, b),$ $(a, b - 1),$ hoặc $(a - 1, b - 1),$ mỗi điểm có xác suất $\frac{1}{3},$ độc lập với các bước di chuyển trước đó của nó. xác suất mà nó sẽ chạm vào các trục tọa độ tại $(0, 0)$ là $\frac{m}{3^n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương và $m$ không phải là chia hết cho $3.$ Tìm $m + n.$