Patrick bắt đầu đi bộ với tốc độ không đổi dọc theo con đường thẳng từ trường đến công viên. Một giờ sau khi Patrick rời đi, Tanya bắt đầu chạy với tốc độ không đổi $2$ dặm một giờ, nhanh hơn tốc độ Patrick đi bộ, đi theo con đường thẳng từ trường đến công viên. Một giờ sau khi Tanya rời đi, José bắt đầu đạp xe với tốc độ không đổi $7$ dặm một giờ nhanh hơn Tanya chạy, đi theo cùng một con đường thẳng từ trường đến công viên. Cả ba người đều đến công viên cùng một lúc. Khoảng cách từ trường đến công viên là $\frac{m}{n}$ dặm, trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$
Tìm số lượng palindrome số nguyên dương được viết trong cơ số $10,$ không có chữ số 0 và các chữ số của chúng có tổng bằng $13.$ Ví dụ: $42124$ có các thuộc tính này. Hãy nhớ lại rằng palindrome là một số có cách biểu thị giống nhau từ trái sang phải cũng như từ phải sang trái.
Một bán cầu có bán kính $200$ nằm trên một đĩa tròn nằm ngang có bán kính $200,$ và bán cầu và đĩa có cùng tâm. Đặt $\mathcal{T}$ là vùng các điểm $P$ trong đĩa sao cho một quả cầu có bán kính $42$ có thể được đặt trên đỉnh đĩa tại $P$ và nằm hoàn toàn bên trong bán cầu. diện tích của $\mathcal{T}$ chia cho diện tích của đĩa là $\frac{p}{q},$ trong đó $p$ và $q$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $p + q.$
Một mặt phẳng chứa các điểm $A$ và $B$ với $AB = 1.$ Điểm $A$ được quay trong mặt phẳng ngược chiều kim đồng hồ một góc nhọn $\theta$ xung quanh điểm $B$ đến điểm $A'.$ Sau đó $B$ được quay trong mặt phẳng theo chiều kim đồng hồ qua góc $\theta$ quanh điểm $A'$ đến điểm $B'.$ Giả sử $AB' = \frac{4}{3}.$ Giá trị của $\cos\theta$ có thể được viết là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$
Tích của tất cả các số thực dương $x$ thỏa mãn phương trình $$
\sqrt[20]{x^{\log_{2026} x}} = 26x
$$ là một số nguyên $P.$ Tìm số ước nguyên dương của $P.$
Joanne có một con súc sắc sáu mặt trống và sáu nhãn dán, mỗi nhãn hiển thị một số nguyên khác nhau từ $1$ đến $6.$ Joanne tung xúc xắc và sau đó đặt nhãn dán có nhãn $1$ lên mặt trên của xúc xắc. Sau đó, cô tung xúc xắc lại, đặt nhãn dán có nhãn $2$ lên mặt trên và tiếp tục quá trình này để đặt các nhãn dán còn lại theo thứ tự. Nếu xúc xắc rơi xuống với nhãn dán đã có trên mặt trên của nó, nhãn dán mới sẽ được đặt để che nhãn dán cũ. Đặt $p$ là điều kiện xác suất rằng khi kết thúc quá trình, chính xác một mặt đã được để trống, với điều kiện là tất cả các nhãn dán số chẵn đều hiển thị trên các mặt của xúc xắc. Khi đó $p$ có thể được viết là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$
Cho $\triangle ABC$ có độ dài các cạnh $AB = 13,$ $BC = 14,$ và $CA = 15.$ Tam giác $\triangle A'B'C'$ thu được bằng cách xoay $\triangle ABC$ quanh tâm đường tròn sao cho $\overline{A'C'}$ vuông góc với $\overline{BC},$ với $A'$ và $B$ không cùng phía $B'C'.$ Tìm số nguyên gần nhất với diện tích của lục giác $AA'CC'BB'.$
Các số nguyên từ $1$ đến $64$ được sắp xếp theo thứ tự nào đó trong một lưới các ô $8 \times 8$ với một số trong mỗi ô. Đặt $a_{i,j}$ là số được đặt trong ô ở hàng $i$ và cột $j,$ và đặt $M$ là tổng của sự khác biệt tuyệt đối giữa các ô liền kề. Nghĩa là, $$
\begin{aligned} M = \sum_{i=1}^{8} \sum_{j=1}^{7} \big(&|a_{i,j+1} - a_{i,j}| \\ &{}+ |a_{j+1,i} - a_{j,i}|\big). \end{aligned}
$$ Tìm số dư khi giá trị tối đa có thể có của $M$ được chia cho $1000.$
Tam giác $\triangle ABC$ nằm trong mặt phẳng $\mathcal{P}$ với $AB = 6,$ $AC = 4,$ và $\angle BAC = 90^\circ.$ Giả sử $D$ là hình phản chiếu qua $\overline{BC}$ của tâm của $\triangle ABC.$ Bốn hình cầu, tất cả đều ở cùng một phía $\mathcal{P},$ có bán kính $1,$ $2,$ $3,$ và $r$ và tiếp tuyến với $\mathcal{P}$ tại các điểm $A,$ $B,$ $C,$ và $D,$ tương ứng. Bốn mặt cầu cũng tiếp tuyến với mặt phẳng thứ hai $\mathcal{T}$ và tất cả đều nằm trên cùng một phía của $\mathcal{T}.$ Giá trị của $r$ có thể được viết là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$
Đối với mỗi số nguyên không âm $r$ nhỏ hơn $502$ hãy xác định $$
S_r = \sum_{m \ge 0} \binom{10{,}000}{502m + r},
$$ trong đó $\binom{10{,}000}{n}$ được xác định là $0$ khi $n \gt 10{,}000.$ Nghĩa là, $S_r$ là tổng của tất cả các hệ số nhị thức có dạng $\binom{10{,}000}{k}$ trong đó $0 \le k \le 10{,}000$ và $k - r$ là bội số của $502.$
Tìm số số nguyên trong danh sách $S_0,$ $S_1,$ $S_2,$ $\ldots,$ $S_{501}$ là bội số của số nguyên tố $503.$
Trong một hình ngũ giác đều, tổng bình phương của các cạnh có độ dài bằng $308,$ và tổng bình phương của các độ dài đường chéo bằng $800.$ Bình phương của chu vi của hình ngũ giác có thể được biểu thị bằng $m\sqrt{n},$ trong đó $m$ và $n$ là số nguyên dương và $n$ không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào. Tìm $m + n.$
Đặt $a,$ $b,$ và $n$ là số nguyên dương có cả $a$ và $b$ lớn hơn hoặc bằng $2$ và nhỏ hơn hoặc bằng $2n.$ Xác định $a \times b$ *vòng lặp ô* trong một Lưới $2n \times 2n$ gồm các ô là $2a + 2b - 4$ ô bao quanh một hình chữ nhật $(a-2) \times (b-2)$ (có thể trống) gồm các ô trong lưới. Ví dụ: sơ đồ sau đây cho thấy cách phân vùng lưới ô $6 \times 6$ thành các vòng lặp ô $4$.
Tìm số cách phân chia một lưới ô $10 \times 10$ thành các vòng lặp ô $5$ sao cho mỗi ô của lưới thuộc về đúng một vòng lặp ô.
