Người lớn chiếm $\frac{5}{12}$ trong đám đông tại buổi hòa nhạc. Sau khi một chiếc xe buýt chở thêm $50$ người đến, người lớn đã chiếm thêm $\frac{11}{25}$ số người có mặt tại buổi hòa nhạc. Tìm số người lớn tối thiểu có thể có mặt tại buổi hòa nhạc sau khi xe buýt đến.
Azar, Carl, Jon và Sergey là bốn tay vợt còn lại trong một giải quần vợt đơn. Họ được chỉ định ngẫu nhiên các đối thủ trong các trận bán kết và những người chiến thắng trong các trận đấu đó sẽ đấu với nhau trong trận đấu cuối cùng để xác định người chiến thắng của giải đấu. Khi Azar chơi Carl, Azar sẽ thắng trận đấu với xác suất $\frac{2}{3}.$ Khi Azar hoặc Carl chơi Jon hoặc Sergey, Azar hoặc Carl sẽ thắng trận đấu với xác suất $\frac{3}{4}.$ Giả sử rằng kết quả của các trận đấu khác nhau là độc lập. xác suất mà Carl sẽ thắng giải đấu là $\frac{p}{q},$ trong đó $p$ và $q$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $p + q.$
Hình chóp vuông bên phải có thể tích $54$ có đáy có chiều dài cạnh $6.$ Năm đỉnh của hình chóp đều nằm trên một hình cầu có bán kính $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$
Có một số thực dương $x$ không bằng $\frac{1}{20}$ hoặc $\frac{1}{2}$ sao cho $$
\log_{20x}(22x) = \log_{2x}(202x).
$$ Giá trị $\log_{20x}(22x)$ có thể được viết là $\log_{10}\left(\frac{m}{n}\right),$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$
Hai mươi điểm riêng biệt được đánh dấu trên một vòng tròn và được dán nhãn từ $1$ đến $20$ theo thứ tự theo chiều kim đồng hồ. Một đoạn thẳng được vẽ giữa mỗi cặp điểm có nhãn khác nhau bởi một số nguyên tố. Tìm số lượng hình tam giác có các đỉnh nằm trong số các điểm $20$ ban đầu.
Giả sử $x_1 \le x_2 \le \cdots \le x_{100}$ là các số thực sao cho $|x_1| + |x_2| + \cdots + |x_{100}| = 1$ và $x_1 + x_2 + \cdots + x_{100} = 0.$ Trong số tất cả $100$-bộ số như vậy, giá trị lớn nhất mà $x_{76} - x_{16}$ có thể đạt được là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ tương đối nguyên tố số nguyên dương. Tìm $m + n.$
Một đường tròn có bán kính $6$ tiếp xúc ngoài với một đường tròn có bán kính $24.$ Tìm diện tích của vùng tam giác giới hạn bởi ba đường tiếp tuyến chung của hai đường tròn này.
Tìm số số nguyên dương $n \le 600$ có giá trị được xác định duy nhất trong số tất cả các số nguyên dương khi cho trước các giá trị của $\left\lfloor \frac{n}{4} \right\rfloor,$ $\left\lfloor \frac{n}{5} \right\rfloor,$ và $\left\lfloor \frac{n}{6} \right\rfloor$, trong đó $\lfloor x \rfloor$ biểu thị số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng số thực $x.$
Đặt $\ell_A$ và $\ell_B$ là hai đường thẳng song song riêng biệt. Đối với số nguyên dương $m$ và $n,$ các điểm phân biệt $A_1,$ $A_2,$ $A_3,$ $\ldots,$ $A_m$ nằm trên $\ell_A,$ và các điểm phân biệt $B_1,$ $B_2,$ $B_3,$ $\ldots,$ $B_n$ nằm trên $\ell_B.$ Ngoài ra, khi các phân đoạn $\overline{A_iB_j}$ được vẽ cho tất cả $i = 1,$ $2,$ $3,$ $\ldots,$ $m$ và $j = 1,$ $2,$ $3,$ $\ldots,$ $n,$ không có điểm nào nằm hoàn toàn giữa $\ell_A$ và $\ell_B$ nằm trên nhiều hơn hai đoạn. Tìm số vùng giới hạn mà hình này chia mặt phẳng khi $m = 7$ và $n = 5.$ Hình cho thấy có các vùng $8$ khi $m = 3$ và $n = 2.$
Cho $ABCD$ là một tứ giác lồi với $AB = 2,$ $AD = 7,$ và $CD = 3$ sao cho các phân giác của các góc nhọn $\angle DAB$ và $\angle ADC$ cắt nhau tại trung điểm của $\overline{BC}.$ Tìm bình phương của diện tích của $ABCD.$
Đặt $a,$ $b,$ $x,$ và $y$ là các số thực với $a \gt 4$ và $b \gt 1$ sao cho $$
\begin{aligned} \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2 - 16} &= \frac{(x - 20)^2}{b^2 - 1} \\ &\quad {}+ \frac{(y - 11)^2}{b^2} \\ &= 1. \end{aligned}
$$ Tìm giá trị nhỏ nhất có thể có của $a + b.$
Có một đa thức $P(x)$ với các hệ số nguyên sao cho $$
\begin{aligned} P(x) &= (x^{2310}-1)^6 \\ &\quad {}\cdot \frac{1}{(x^{105}-1)(x^{70}-1)} \\ &\quad {}\cdot \frac{1}{(x^{42}-1)(x^{30}-1)} \end{aligned}
$$ đúng với mọi $0 \lt x \lt 1.$ Tìm hệ số của $x^{2022}$ trong $P(x).$
Đối với các số nguyên dương $a,$ $b,$ và $c$ với $a \lt b \lt c,$ hãy xem xét các bộ sưu tập tem bưu chính có mệnh giá $a,$ $b,$ và $c$ xu chứa ít nhất mỗi loại một tem giáo phái. Nếu tồn tại một bộ sưu tập như vậy chứa các bộ sưu tập con có giá trị đến từng xu lên tới $1000$ xu, hãy đặt $f(a, b, c)$ là số lượng tem tối thiểu trong một bộ sưu tập như vậy. Tìm tổng của ba giá trị nhỏ nhất của $c$ sao cho $f(a, b, c) = 97$ cho một số phương án của $a$ và $b.$
Hai đường tròn tiếp tuyến ngoài $\omega_1$ và $\omega_2$ lần lượt có tâm $O_1$ và $O_2,$. Đường tròn thứ ba $\Omega$ đi qua $O_1$ và $O_2$ cắt nhau $\omega_1$ tại $B$ và $C$ và $\omega_2$ tại $A$ và $D,$ như minh họa. Giả sử rằng $AB = 2,$ $O_1O_2 = 15,$ $CD = 16,$ và $ABO_1CDO_2$ là một hình lục giác lồi. Tìm diện tích của hình lục giác này.
Đa thức bậc hai $P(x)$ và $Q(x)$ có hệ số dẫn đầu lần lượt là $2$ và $-2,$. Đồ thị của cả hai đa thức đi qua hai điểm $(16, 54)$ và $(20, 53).$ Tìm $P(0) + Q(0).$
Tìm số nguyên dương có ba chữ số $\underline{a}\,\underline{b}\,\underline{c}$ có biểu diễn trong cơ số chín là $\underline{b}\,\underline{c}\,\underline{a},$ trong đó $a,$ $b,$ và $c$ là các chữ số (không nhất thiết phải khác biệt).
Trong các hình cân hình thang $ABCD,$ các đáy song song $\overline{AB}$ và $\overline{CD}$ lần lượt có độ dài $500$ và $650,$ và $AD = BC = 333.$ Các đường phân giác của $\angle A$ và $\angle D$ cắt nhau tại $P,$ và các đường phân giác của $\angle B$ và $\angle C$ cắt nhau tại $Q.$ Tìm $PQ.$
Đặt $w = \frac{\sqrt{3} + \mathrm{i}}{2}$ và $z = \frac{-1 + \mathrm{i}\sqrt{3}}{2},$ trong đó $\mathrm{i} = \sqrt{-1}.$ Tìm số cặp có thứ tự $(r, s)$ của các số nguyên dương không vượt quá $100$ thỏa mãn phương trình $\mathrm{i} \cdot w^r = z^s.$
Một con sông thẳng rộng $264$ mét chảy từ tây sang đông với tốc độ $14$ mét mỗi phút. Melanie và Sherry ngồi ở bờ nam sông với Melanie cách Sherry một khoảng $D$ mét về phía hạ lưu. So với mặt nước, Melanie bơi với tốc độ $80$ mét mỗi phút và Sherry bơi với tốc độ $60$ mét mỗi phút. Cùng lúc đó, Melanie và Sherry bắt đầu bơi theo đường thẳng đến một điểm ở bờ bắc con sông cách đều vị trí xuất phát của họ. Hai người phụ nữ đến thời điểm này cùng một lúc. Tìm $D.$
