AIME I năm 2025

Tìm tổng của tất cả các cơ số nguyên $b \gt 9$ mà $17_b$ là ước của $97_b.$

Trên $\triangle ABC$ điểm $A,$ $D,$ $E,$ và $B$ nằm theo thứ tự đó về phía $\overline{AB}$ với $AD = 4,$ $DE = 16,$ và $EB = 8.$ Điểm $A,$ $F,$ $G,$ và $C$ nằm theo thứ tự đó về phía $\overline{AC}$ với $AF = 13,$ $FG = 52,$ và $GC = 26.$ Đặt $M$ là sự phản ánh của $D$ đến $F,$ và đặt $N$ là hình chiếu của $G$ đến $E.$ Tứ giác $DEGF$ có diện tích $288.$ Tìm diện tích của hình bảy giác $AFNBCEM.$

Các thành viên $9$ của một đội bóng chày đã đến quán kem sau trận đấu của họ. Mỗi người chơi có một muỗng kem sô cô la, vani hoặc kem dâu. ít nhất một người chơi đã chọn từng hương vị và số người chơi chọn sô cô la nhiều hơn số người chơi chọn vani, lớn hơn số người chơi chọn dâu tây. Đặt $N$ là số lần gán các hương vị khác nhau cho những người chơi đáp ứng các điều kiện này. Tìm số dư khi $N$ được chia cho $1000.$

Tìm số cặp có thứ tự $(x, y),$ trong đó cả $x$ và $y$ đều là số nguyên nằm giữa $-100$ và $100,$ sao cho $12x^2 - xy - 6y^2 = 0.$

Có $8! = 40320$ số nguyên dương tám chữ số sử dụng mỗi chữ số $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ $6,$ $7,$ $8$ đúng một lần. Đặt $N$ là số của các số nguyên này là chia hết cho $22.$ Tìm sự khác biệt giữa $N$ và $2025.$

Một hình cân hình thang có một đường tròn nội tiếp tiếp tuyến với bốn cạnh của nó. Bán kính của hình tròn là $3,$ và diện tích của hình thang là $72.$ Giả sử các cạnh song song của hình thang có độ dài $r$ và $s,$ với $r \ne s.$ Tìm $r^2 + s^2.$

Mười hai chữ cái $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ $E,$ $F,$ $G,$ $H,$ $I,$ $J,$ $K,$ và $L$ được nhóm ngẫu nhiên thành sáu cặp chữ cái. Hai chữ cái trong mỗi cặp được đặt cạnh nhau theo thứ tự bảng chữ cái để tạo thành sáu từ có hai chữ cái, sau đó sáu từ đó được liệt kê theo thứ tự bảng chữ cái. Ví dụ: một kết quả có thể là $AB,$ $CJ,$ $DG,$ $EK,$ $FL,$ $HI.$ xác suất mà từ cuối cùng được liệt kê chứa $G$ là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$

Cho $k$ là một số thực sao cho hệ $$
|25 + 20i - z| = 5
$$ $$
|z - 4 - k| = |z - 3i - k|
$$ có đúng một nghiệm phức $z.$ Tổng của tất cả các giá trị có thể có của $k$ có thể được viết là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ tương đối số nguyên dương nguyên tố. Tìm $m + n.$ Tại đây $i = \sqrt{-1}.$

Parabol có phương trình $y = x^2 - 4$ được quay $60^\circ$ ngược chiều kim đồng hồ xung quanh gốc tọa độ. Điểm duy nhất trong góc phần tư thứ tư nơi parabol ban đầu và ảnh của nó giao nhau có $y$-tọa độ $\frac{a - \sqrt{b}}{c},$ trong đó $a,$ $b,$ và $c$ là các số nguyên dương và $a$ và $c$ là các số nguyên dương. Tìm $a + b + c.$

Các ô $27$ của lưới $3 \times 9$ được điền bằng cách sử dụng các số từ $1$ đến $9$ sao cho mỗi hàng chứa $9$ các số khác nhau và mỗi khối trong số ba khối $3 \times 3$ được phác thảo rõ ràng trong ví dụ bên dưới chứa $9$ các số khác nhau, như trong ô đầu tiên ba hàng câu đố Sudoku.



Số cách khác nhau để lấp đầy một lưới như vậy có thể được viết là $p^a \cdot q^b \cdot r^c \cdot s^d,$ trong đó $p,$ $q,$ $r,$ và $s$ là các số nguyên tố riêng biệt và $a,$ $b,$ $c,$ $d$ là số nguyên dương. Tìm $p \cdot a + q \cdot b + r \cdot c + s \cdot d.$

Hàm tuyến tính từng phần được xác định bởi $$
f(x) = \begin{cases} x & \text{if } -1 \le x \lt 1 \\ 2 - x & \text{if } 1 \le x \lt 3 \end{cases}
$$ và $f(x + 4) = f(x)$ cho tất cả các số thực $x.$ Đồ thị của $f(x)$ có dạng răng cưa được mô tả bên dưới.



Parabol $x = 34y^2$ cắt đồ thị của $f(x)$ tại hữu hạn nhiều điểm. Tổng tọa độ $y$ của tất cả các điểm giao nhau này có thể được biểu thị dưới dạng $\frac{a + b\sqrt{c}}{d},$ trong đó $a,$ $b,$ $c,$ và $d$ là các số nguyên dương sao cho $a,$ $b,$ $d$ có ước chung lớn nhất bằng $1,$ và $c$ không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào. Tìm $a + b + c + d.$

Tập hợp các điểm trong không gian tọa độ $3$ nằm trong mặt phẳng $x + y + z = 75$ có tọa độ thỏa mãn các bất đẳng thức $$
x - yz \lt y - zx \lt z - xy
$$ tạo thành ba vùng lồi rời nhau. Chính xác một trong những vùng đó có [[TERM00009] hữu hạn. diện tích của vùng hữu hạn này có thể được biểu thị dưới dạng $a\sqrt{b},$ trong đó $a$ và $b$ là số nguyên dương và $b$ không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào. Tìm $a + b.$

Alex chia một cái đĩa thành bốn góc phần tư với hai đường kính vuông góc cắt nhau ở tâm của đĩa. Anh ta vẽ thêm $25$ đoạn thẳng qua đĩa, vẽ từng đoạn bằng cách chọn ngẫu nhiên hai điểm trên chu vi của đĩa ở các góc phần tư khác nhau và nối hai điểm này. Tìm số vùng dự kiến ​​mà các đoạn dòng $27$ này phân chia đĩa.

Cho $ABCDE$ là một ngũ giác lồi với $AB = 14,$ $BC = 7,$ $CD = 24,$ $DE = 13,$ $EA = 26,$ và $\angle B = \angle E = 60^\circ.$ Với mỗi điểm $X$ trong mặt phẳng, hãy xác định $f(X) = AX + BX + CX$ $+ DX + EX.$ Giá trị nhỏ nhất có thể có của $f(X)$ có thể được biểu thị dưới dạng $m + n\sqrt{p},$ trong đó $m$ và $n$ là số nguyên dương và $p$ không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào. Tìm $m + n + p.$

Đặt $N$ biểu thị số bộ ba số nguyên dương có thứ tự $(a, b, c)$ sao cho $a,$ $b,$ $c \le 3^6$ và $a^3 + b^3 + c^3$ là bội số của $3^7.$ Tìm số dư khi $N$ được chia cho $1000.$