Số lượng táo mọc trên mỗi cây trong số sáu cây táo tạo thành cấp số cộng trong đó số lượng táo lớn nhất mọc trên bất kỳ cây nào trong số sáu cây này gấp đôi số lượng táo ít nhất mọc trên bất kỳ cây nào trong số sáu cây. Tổng số táo mọc trên cả sáu cây là $990.$ Tìm số lượng táo lớn nhất mọc trên bất kỳ cây nào trong số sáu cây.
Hãy nhớ lại rằng palindrome là một số đọc xuôi và đọc ngược giống nhau. Tìm số nguyên lớn nhất nhỏ hơn $1000$ là một bảng màu cả khi viết ở cơ số mười và khi viết ở cơ số tám, chẳng hạn như $292 = 444_8.$
Giả sử $\triangle ABC$ là một tam giác cân với $\angle A = 90^\circ.$ Tồn tại một điểm $P$ bên trong $\triangle ABC$ sao cho $\angle PAB = \angle PBC = \angle PCA$ và $AP = 10.$ Tìm diện tích của $\triangle ABC.$
Giả sử $S$ là tập hợp tất cả các số hữu tỉ dương $r$ sao cho khi hai số $r$ và $55r$ được viết dưới dạng phân số tối giản thì tổng tử số và mẫu số của phân số này bằng tổng của tử số và mẫu số của phân số kia. Tổng của tất cả các phần tử của $S$ có thể được biểu thị dưới dạng $\frac{p}{q},$ trong đó $p$ và $q$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $p + q.$
Hãy xem xét vùng hình chữ L được hình thành bởi ba hình vuông đơn vị nối ở các cạnh của chúng, như được hiển thị bên dưới. Hai điểm $A$ và $B$ được chọn độc lập và thống nhất ngẫu nhiên từ bên trong khu vực. xác suất mà trung điểm của $\overline{AB}$ cũng nằm bên trong vùng hình chữ L này có thể được biểu thị dưới dạng $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$
Mỗi đỉnh của một hình mười hai cạnh đều ($12$-gon) phải được tô màu đỏ hoặc xanh lam, và do đó có thể có $2^{12}$ cách tô màu. Tìm số các cách tô màu này với tính chất không có bốn đỉnh nào được tô cùng màu là bốn đỉnh của một hình chữ nhật.
Đặt $\omega = \cos\frac{2\pi}{7} + i \cdot \sin\frac{2\pi}{7},$ trong đó $i = \sqrt{-1}.$ Tìm giá trị của tích $$
\prod_{k=0}^{6} \left(\omega^{3k} + \omega^k + 1\right).
$$
Các đường tròn $\omega_1$ và $\omega_2$ cắt nhau tại hai điểm $P$ và $Q,$ và đường tiếp tuyến chung của chúng gần với $P$ cắt $\omega_1$ và $\omega_2$ tại các điểm $A$ và $B,$ tương ứng. Đường thẳng song song với $\overline{AB}$ đi qua $P$ cắt $\omega_1$ và $\omega_2$ lần thứ hai tại các điểm $X$ và $Y,$ tương ứng. Giả sử $PX = 10,$ $PY = 14,$ và $PQ = 5.$ Sau đó, diện tích của hình thang $XABY$ là $m\sqrt{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương và $n$ không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào. Tìm $m + n.$
Đặt $N$ là số cách đặt các số nguyên $1$ đến $12$ trong các ô $12$ của lưới $2 \times 6$ sao cho đối với hai ô bất kỳ có chung một cạnh, sự khác biệt giữa các số trong các ô đó không phải là chia hết cho $3.$ Một chiều để làm điều này được hiển thị dưới đây. Tìm số ước nguyên dương của $N.$
Tìm số tập hợp con của $16$ các tập con riêng biệt của $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ với thuộc tính cho hai tập con bất kỳ $X$ và $Y$ trong tập hợp, $X \cap Y \neq \emptyset.$
Trong $\triangle ABC$ với độ dài các cạnh $AB = 13,$ $BC = 14,$ và $CA = 15,$ đặt $M$ là trung điểm của $\overline{BC}.$ Đặt $P$ là điểm trên đường tròn ngoại tiếp của $\triangle ABC$ sao cho $M$ nằm trên $\overline{AP}.$ Tồn tại một điểm duy nhất $Q$ trên đoạn $\overline{AM}$ sao cho $\angle PBQ = \angle PCQ.$ Khi đó $AQ$ có thể được viết là $\frac{m}{\sqrt{n}},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$
Cho $A$ là một góc nhọn sao cho $\tan A = 2 \cos A.$ Tìm số số nguyên dương $n$ nhỏ hơn hoặc bằng $1000$ sao cho $\sec^n A + \tan^n A$ là số nguyên dương có chữ số hàng đơn vị là $9.$
Một thùng chứa hình lập phương có các đỉnh $A,$ $B,$ $C,$ và $D,$ trong đó $\overline{AB}$ và $\overline{CD}$ là các cạnh song song của khối và $\overline{AC}$ và $\overline{BD}$ là các đường chéo của các mặt của hình lập phương khối lập phương, như được hiển thị. Đỉnh $A$ của hình lập phương được đặt trên mặt phẳng nằm ngang $\mathcal{P}$ sao cho mặt phẳng của hình chữ nhật $ABDC$ vuông góc với $\mathcal{P},$ đỉnh $B$ là $2$ mét phía trên $\mathcal{P},$ đỉnh $C$ là $8$ mét phía trên $\mathcal{P},$ và đỉnh $D$ là $10$ mét phía trên $\mathcal{P}.$ Khối lập phương chứa nước có bề mặt song song với $\mathcal{P}$ ở độ cao $7$ mét phía trên $\mathcal{P}.$ thể tích của nước là $\frac{m}{n}$ mét khối, trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$
Với mỗi số nguyên dương $n$ đặt $a_n$ là số nguyên dương nhỏ nhất bội số của $23$ sao cho $a_n \equiv 1 \pmod{2^n}.$ Tìm số số nguyên dương $n$ nhỏ hơn hoặc bằng $1000$ thỏa mãn $a_n = a_{n+1}.$
Năm người đàn ông và chín người phụ nữ đứng cách đều nhau xung quanh một vòng tròn theo thứ tự ngẫu nhiên. xác suất mà mỗi người đàn ông đứng đối diện hoàn toàn với một người phụ nữ là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$
Các số thực dương $b \ne 1$ và $n$ thỏa mãn các phương trình $$
\sqrt{\log_b n} = \log_b \sqrt{n}
$$ và $$
b \cdot \log_b n = \log_b (bn).
$$ Giá trị của $n$ là $\frac{j}{k},$ trong đó $j$ và $k$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $j + k.$
Một mặt phẳng chứa $40$ đường thẳng, không có $2$ đường nào song song. Giả sử rằng có $3$ điểm trong đó chính xác $3$ đường giao nhau, $4$ điểm nơi chính xác $4$ đường giao nhau, $5$ điểm nơi chính xác $5$ đường giao nhau, $6$ điểm chính xác $6$ đường giao nhau và không có điểm nào có nhiều hơn $6$ đường giao nhau. Tìm số điểm mà tại đó các đường thẳng $2$ giao nhau.
Tổng của tất cả các số nguyên dương $m$ sao cho $\frac{13!}{m}$ là một số chính phương có thể được viết là $2^a 3^b 5^c 7^d 11^e 13^f,$ trong đó $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ $e,$ và $f$ là số nguyên dương. Tìm $a + b + c + d + e + f.$
