Ngân hàng câu hỏi AIME 1991

Tìm $x^2+y^2$ nếu $x$ và $y$ là các số nguyên dương sao cho $$
\begin{aligned}xy+x+y&=71,\\x^2y+xy^2&=880.\end{aligned}
$$

Hình chữ nhật $ABCD$ có các cạnh $\overline{AB}$ dài $4$ và $\overline{CB}$ có chiều dài $3.$ Chia $\overline{AB}$ thành $168$ bằng nhau các đoạn có điểm $A=P_0,$ $P_1,$ $\ldots,$ $P_{168}=B,$ và chia $\overline{CB}$ thành $168$ bằng nhau các đoạn có điểm $C=Q_0,$ $Q_1,$ $\ldots,$ $Q_{168}=B.$ For $1\leq k\leq167,$ vẽ các đoạn $\overline{P_kQ_k}.$ Lặp lại cách xây dựng này trên các cạnh $\overline{AD}$ và $\overline{CD},$ rồi vẽ đường chéo $\overline{AC}.$ Tìm tổng độ dài của các đoạn song song $335$ được vẽ.

Việc mở rộng $(1+0.2)^{1000}$ theo định lý nhị thức và không thực hiện thao tác nào nữa sẽ cho $$
\begin{aligned}&\binom{1000}{0}(0.2)^0+\binom{1000}{1}(0.2)^1\\&+\binom{1000}{2}(0.2)^2+\cdots\\&+\binom{1000}{1000}(0.2)^{1000}\\&=A_0+A_1+\cdots+A_{1000},\end{aligned}
$$ trong đó $A_k=\binom{1000}{k}(0.2)^k$ cho $k=0,$ $1,$ $2,$ $\ldots,$ $1000.$ For which $k$ là $A_k$ lớn nhất?

Có bao nhiêu số thực $x$ thỏa mãn phương trình $$
\frac15\log_2x=\sin(5\pi x)?
$$

Cho một số hữu tỷ, viết nó dưới dạng phân số tối giản và tính tích của tử số và mẫu số. Với bao nhiêu số hữu tỉ giữa $0$ và $1$ thì $20!$ sẽ là tích thu được?

Giả sử $r$ là số thực mà $$
\begin{aligned}&\left\lfloor r+\frac{19}{100}\right\rfloor+\left\lfloor r+\frac{20}{100}\right\rfloor\\&\quad+\left\lfloor r+\frac{21}{100}\right\rfloor+\cdots\\&\quad+\left\lfloor r+\frac{91}{100}\right\rfloor=546.\end{aligned}
$$ Tìm $\lfloor100r\rfloor.$ (Đối với số thực $x,$ $\lfloor x\rfloor$ là số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng $x.$)

Tìm $A^2,$ trong đó $A$ là tổng các giá trị tuyệt đối của tất cả các nghiệm của phương trình sau: $$
x=\sqrt{19}+\cfrac{91}{\sqrt{19}+\cfrac{91}{\sqrt{19}+\cfrac{91}{\sqrt{19}+\cfrac{91}{\sqrt{19}+\cfrac{91}{x}}}}}.
$$

Với bao nhiêu số thực $a$ thì phương trình bậc hai $x^2+ax+6a=0$ chỉ có nghiệm nguyên cho $x?$

Giả sử rằng $\sec x+\tan x=\frac{22}{7}$ và $\csc x+\cot x=\frac{m}{n},$ trong đó $\frac{m}{n}$ ở mức thấp nhất. Tìm $m+n.$

Hai chuỗi ba ký tự, $aaa$ và $bbb,$ được truyền bằng điện tử. Mỗi chuỗi được gửi từng chữ cái. Do thiết bị bị lỗi, mỗi chữ cái trong số sáu chữ cái đều có $\frac{1}{3}$ khả năng được nhận không chính xác, dưới dạng $a$ trong khi lẽ ra nó phải là $b,$ hoặc dưới dạng $b$ khi nó phải là $a.$ Tuy nhiên, việc một lá thư nhất định được nhận đúng hay sai không phụ thuộc vào việc nhận bất kỳ lá thư nào khác.

Đặt $S_a$ là chuỗi ba ký tự nhận được khi $aaa$ được truyền đi và đặt $S_b$ là chuỗi ba ký tự nhận được khi $bbb$ được truyền đi. Đặt $p$ là xác suất $S_a$ đứng trước $S_b$ theo thứ tự bảng chữ cái. Khi $p$ được viết dưới dạng phân số ở dạng tối giản thì tử số của nó là bao nhiêu?

Mười hai đĩa bằng nhau được đặt trên một vòng tròn $C$ bán kính $1$ sao cho mười hai đĩa bao phủ $C,$ không có hai đĩa nào trùng nhau và sao cho mỗi đĩa trong số mười hai đĩa tiếp xúc với hai đĩa lân cận. Sự sắp xếp kết quả của các đĩa được thể hiện trong hình dưới đây. Tổng diện tích của mười hai đĩa có thể được viết dưới dạng $\pi(a-b\sqrt c),$ trong đó $a,$ $b,$ $c$ là số nguyên dương và $c$ không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào. Tìm $a+b+c.$

Hình thoi $PQRS$ nội tiếp trong hình chữ nhật $ABCD$ sao cho các đỉnh $P,$ $Q,$ $R,$ và $S$ là các điểm bên trong trên các cạnh $\overline{AB},$ $\overline{BC},$ $\overline{CD},$ và $\overline{DA},$ tương ứng. Người ta cho rằng $PB=15,$ $BQ=20,$ $PR=30,$ và $QS=40.$ Đặt $\frac{m}{n},$ ở dạng thấp nhất, biểu thị chu vi của $ABCD.$ Tìm $m+n.$

Một ngăn kéo chứa hỗn hợp tất đỏ và tất xanh, nhiều nhất $1991$ tổng cộng. Điều đó xảy ra là khi hai chiếc tất được chọn ngẫu nhiên mà không thay thế, thì có xác suất chính xác là $\frac{1}{2}$ cả hai đều có màu đỏ hoặc cả hai đều có màu xanh. Số tất đỏ lớn nhất có thể có trong ngăn kéo phù hợp với dữ liệu này là bao nhiêu?

Một hình lục giác được ghi trong một vòng tròn. Năm cạnh có độ dài $81$ và cạnh thứ sáu, ký hiệu là $\overline{AB},$ có độ dài $31.$ Tìm tổng độ dài của ba đường chéo có thể được rút ra từ $A.$

Đối với số nguyên dương $n,$ xác định $S_n$ là giá trị nhỏ nhất của tổng $$
\sum_{k=1}^n\sqrt{(2k-1)^2+a_k^2},
$$ trong đó $a_1,$ $a_2,$ $\ldots,$ $a_n$ là các số thực dương có tổng là $17.$ Có một số nguyên dương duy nhất $n$ trong đó $S_n$ cũng là một số nguyên. Tìm cái này $n.$