Ngân hàng câu hỏi AIME 2006

Trong hình lục giác lồi $ABCDEF,$ cả sáu cạnh đều là bằng nhau, $\angle A$ và $\angle D$ là các góc vuông và $\angle B,$ $\angle C,$ $\angle E,$ và $\angle F$ là bằng nhau. diện tích của vùng lục giác là $2116(\sqrt{2} + 1).$ Tìm $AB.$

Độ dài các cạnh của một tam giác có diện tích dương là $\log_{10} 12,$ $\log_{10} 75,$ và $\log_{10} n,$ trong đó $n$ là số nguyên dương. Tìm số giá trị có thể có của $n.$

Đặt $P$ là tích của $100$ số nguyên dương lẻ đầu tiên. Tìm số nguyên lớn nhất $k$ sao cho $P$ là chia hết cho $3^k.$

Giả sử $(a_1, a_2, a_3, \ldots, a_{12})$ là một hoán vị của $(1, 2, 3, \ldots, 12)$ trong đó $$
a_1 \gt a_2 \gt a_3 \gt a_4 \gt a_5 \gt a_6
$$ và $$
\begin{aligned} &a_6 \lt a_7 \lt a_8 \lt a_9 \\ &\lt a_{10} \lt a_{11} \lt a_{12}. \end{aligned}
$$ Một ví dụ về hoán vị như vậy là $(6, 5, 4, 3, 2, 1, 7, 8, 9, 10, 11, 12).$ Tìm số lượng hoán vị như vậy.

Khi tung xúc xắc sáu mặt không công bằng nhất định với các mặt được đánh số $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ và $6,$ thì xác suất của việc lấy được mặt $F$ lớn hơn $\frac{1}{6},$ xác suất của việc có được mặt đối diện $F$ nhỏ hơn $\frac{1}{6},$ xác suất của việc có được mỗi mặt còn lại là $\frac{1}{6},$ và tổng các số trên mỗi cặp mặt đối diện là $7.$ Khi tung hai viên xúc xắc như vậy, thì xác suất của việc lấy được tổng $7$ là $\frac{47}{288}.$ Cho rằng xác suất của việc lấy được mặt $F$ là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố, hãy tìm $m + n.$

Hình vuông $ABCD$ có các cạnh có độ dài $1.$ Điểm $E$ và $F$ lần lượt nằm trên $\overline{BC}$ và $\overline{CD},$, sao cho $\triangle AEF$ là hình bằng nhau. Một hình vuông có đỉnh $B$ có các cạnh song song với các cạnh của $ABCD$ và một đỉnh trên $\overline{AE}.$ Độ dài một cạnh của hình vuông nhỏ hơn này là $\frac{a - \sqrt{b}}{c},$ trong đó $a,$ $b,$ và $c$ là các số nguyên dương và $b$ không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào. Tìm $a + b + c.$

Tìm số cặp số nguyên dương có thứ tự $(a, b)$ sao cho $a + b = 1000$ và cả $a$ và $b$ đều không có chữ số 0.

Có nguồn cung cấp không giới hạn bằng nhau hình tam giác đều làm bằng giấy màu. Mỗi hình tam giác là một màu đồng nhất ở cả hai mặt của tờ giấy. Một tam giác đều lớn được tạo từ bốn hình tam giác giấy như được hiển thị. Hai hình tam giác lớn được coi là có thể phân biệt được nếu không thể đặt cái này lên cái kia bằng cách sử dụng các phép tịnh tiến, phép quay và/hoặc phản xạ sao cho các hình tam giác nhỏ tương ứng của chúng có cùng màu. Cho rằng có sáu màu khác nhau của các hình tam giác để chọn, có thể dựng được bao nhiêu hình tam giác đều lớn có thể phân biệt được?

Các đường tròn $\mathcal{C}_1,$ $\mathcal{C}_2,$ và $\mathcal{C}_3$ có tâm tại $(0, 0),$ $(12, 0),$ và $(24, 0),$ và có bán kính lần lượt là $1,$ $2,$ và $4,$. Đường thẳng $t_1$ là tiếp tuyến chung trong của $\mathcal{C}_1$ và $\mathcal{C}_2$ và có độ dốc dương, còn đường $t_2$ là tiếp tuyến chung trong của $\mathcal{C}_2$ và $\mathcal{C}_3$ và có độ dốc âm. Cho rằng các đường $t_1$ và $t_2$ cắt nhau tại $(x, y),$ và $x = p - q\sqrt{r},$ trong đó $p,$ $q,$ và $r$ là số nguyên dương và $r$ không phải là số nguyên dương chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào, tìm $p + q + r.$

Bảy đội chơi một giải bóng đá trong đó mỗi đội đấu với mỗi đội khác đúng một lần. Không có trận hòa nào xảy ra, mỗi đội có $50\%$ cơ hội chiến thắng trong mỗi trận đấu mà họ chơi và kết quả của các trận đấu là độc lập. Trong mỗi trò chơi, người chiến thắng được thưởng $1$ điểm và người thua cuộc nhận được $0$ điểm. Tổng số điểm được tích lũy để quyết định thứ hạng của các đội. Trong trận đầu tiên của giải đấu, đội $A$ đánh bại đội $B.$ xác suất đội $A$ kết thúc với nhiều điểm hơn đội $B$ là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là số nguyên tố dương tương đối số nguyên. Tìm $m + n.$

Một dãy được định nghĩa như sau: $a_1 = a_2 = a_3 = 1,$ và, với tất cả các số nguyên dương $n,$ $a_{n+3} = a_{n+2} + a_{n+1} + a_n.$ Cho rằng $a_{28} = 6090307,$ $a_{29} = 11201821,$ và $a_{30} = 20603361,$, tìm số dư khi $\sum_{k=1}^{28} a_k$ được chia cho $1000.$

$\triangle ABC$ đều nội tiếp trong một đường tròn bán kính $2.$ Kéo dài $\overline{AB}$ đến $B$ đến điểm $D$ sao cho $AD = 13,$ và kéo dài $\overline{AC}$ đến $C$ đến điểm $E$ sao cho $AE = 11.$ Qua $D,$ vẽ một đường thẳng $\ell_1$ song song với $\overline{AE},$ và qua $E,$ vẽ một đường thẳng $\ell_2$ song song với $\overline{AD}.$ Gọi $F$ là giao điểm của $\ell_1$ và $\ell_2.$ Đặt $G$ là điểm trên đường tròn thẳng hàng với $A$ và $F$ và khác biệt với $A.$ Cho rằng diện tích của $\triangle CBG$ có thể được biểu thị dưới dạng $\frac{p\sqrt{q}}{r},$ trong đó $p,$ $q,$ và $r$ là các số nguyên dương, $p$ và $r$ là các số nguyên tố cùng nhau và $q$ không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào, hãy tìm $p + q + r.$

Có bao nhiêu số nguyên $N$ nhỏ hơn $1000$ có thể được viết dưới dạng tổng của $j$ số nguyên dương lẻ liên tiếp cho chính xác các giá trị $5$ của $j \ge 1?$

Đặt $S_n$ là tổng các nghịch đảo của các chữ số khác 0 của các số nguyên từ $1$ đến $10^n,$. Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $n$ mà $S_n$ là số nguyên.

Cho rằng $x,$ $y,$ và $z$ là các số thực thỏa mãn $$
x = \sqrt{y^2 - \frac{1}{16}} + \sqrt{z^2 - \frac{1}{16}},
$$ $$
y = \sqrt{z^2 - \frac{1}{25}} + \sqrt{x^2 - \frac{1}{25}},
$$ $$
z = \sqrt{x^2 - \frac{1}{36}} + \sqrt{y^2 - \frac{1}{36}},
$$ và $x + y + z = \frac{m}{\sqrt{n}},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương, và $n$ không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào, hãy tìm $m + n.$

Trong tứ giác $ABCD,$ $\angle B$ là một góc vuông, đường chéo $\overline{AC}$ vuông góc với $\overline{CD},$ $AB = 18,$ $BC = 21,$ và $CD = 14.$ Tìm chu vi của $ABCD.$

Đặt $\mathcal{A}$ là tập hợp con phần tử $90$ của $\{1, 2, 3, \ldots, 100\},$ và đặt $S$ là tổng của các phần tử của $\mathcal{A}.$ Tìm số giá trị có thể có của $S.$

Tìm số nguyên dương nhỏ nhất sao cho khi xóa chữ số ngoài cùng bên trái của nó thì số nguyên thu được là $\frac{1}{29}$ của số nguyên ban đầu.

Đặt $N$ là số $0$ liên tiếp ở đầu bên phải của biểu diễn thập phân của tích $1!\,2!\,3!\,4! \cdots 99!\,100!.$ Tìm số dư khi $N$ được chia cho $1000.$

Số $$
\small \sqrt{104\sqrt{6} + 468\sqrt{10} + 144\sqrt{15} + 2006}
$$ có thể được viết là $a\sqrt{2} + b\sqrt{3} + c\sqrt{5},$ trong đó $a,$ $b,$ và $c$ là số nguyên dương. Tìm $a \cdot b \cdot c.$