Ngân hàng câu hỏi AIME 1988

Một ổ khóa mười nút có bán trên thị trường có thể được mở bằng cách nhấn—theo bất kỳ thứ tự nào—năm nút chính xác. Một mẫu có $\{1,2,3,6,9\}$ là sự kết hợp của nó. Giả sử rằng các ổ khóa này được thiết kế lại sao cho các bộ có tới chín nút hoặc chỉ một nút có thể dùng làm tổ hợp. Điều này sẽ cho phép bao nhiêu kết hợp bổ sung?

Với mọi số nguyên dương $k,$ hãy để $f_1(k)$ biểu thị bình phương của tổng các chữ số của $k.$ Với $n\geq2,$ hãy để $f_n(k)=f_1(f_{n-1}(k)).$ Tìm $f_{1988}(11).$

Tìm $(\log_2 x)^2$ nếu $\log_2(\log_8 x)=\log_8(\log_2 x).$

Giả sử rằng $|x_i|\lt1$ cho $i=1,$ $2,$ $\ldots,$ $n.$ Giả sử thêm rằng

$$
\begin{aligned}&|x_1|+|x_2|+\cdots+|x_n|\\&=19+\bigl|x_1+x_2\\&\qquad+\cdots+x_n\bigr|.\end{aligned}
$$

Giá trị nhỏ nhất có thể có của $n?$ là bao nhiêu

Giả sử $\frac{m}{n},$ theo số hạng thấp nhất, là xác suất mà ước số dương được chọn ngẫu nhiên của $10^{99}$ là số nguyên bội số của $10^{88}.$ Tìm $m+n.$

Có thể đặt các số nguyên dương vào 21 ô vuông còn trống của hình vuông $5\times5$ được hiển thị bên dưới để các số trong mỗi hàng và cột tạo thành các chuỗi số học. Tìm số phải chiếm ô vuông trống được đánh dấu bằng dấu hoa thị $(*).$

Trong tam giác $ABC,$ $\tan\angle CAB=\frac{22}{7},$ và đường cao từ $A$ chia $BC$ thành các đoạn có độ dài $3$ và $17.$ diện tích của tam giác $ABC?$

Hàm số $f$ xác định trên tập hợp các cặp số nguyên dương có thứ tự và thỏa mãn các tính chất sau với mọi số nguyên dương $x,y$:

$$\begin{gathered}f(x,x)=x,\\
f(x,y)=f(y,x),\\
(x+y)f(x,y)=yf(x,x+y).\end{gathered}$$

Tính $f(14,52)$.

Tìm số nguyên dương nhỏ nhất có khối kết thúc bằng $888.$

Một khối đa diện lồi có các mặt là $12$ hình vuông, $8$ hình lục giác đều và $6$ hình bát giác đều. Tại mỗi đỉnh của khối đa diện có một hình vuông, một hình lục giác và một hình bát giác gặp nhau. Có bao nhiêu đoạn nối các đỉnh của khối đa diện nằm ở bên trong khối đa diện chứ không phải dọc theo một cạnh hoặc một mặt?

Đặt $w_1,$ $w_2,$ $\ldots,$ $w_n$ là số phức. Đường thẳng $L$ trong mặt phẳng phức được gọi là đường thẳng trung bình cộng cho các điểm $w_1,$ $w_2,$ $\ldots,$ $w_n$ nếu $L$ chứa các điểm (số phức) $z_1,$ $z_2,$ $\ldots,$ $z_n$ sao cho

$$
\sum_{k=1}^n(z_k-w_k)=0.
$$

Đối với các số $w_1=32+170i,$ $w_2=-7+64i,$ $w_3=-9+200i,$ $w_4=1+27i,$ và $w_5=-14+43i,$ có một đường trung bình cộng duy nhất với $y$-chặn $3.$ Tìm độ dốc của trung bình cộng này dòng.

Giả sử $P$ là điểm trong của tam giác $ABC$ và kéo dài các đường thẳng từ các đỉnh qua $P$ sang các cạnh đối diện. Đặt $a,$ $b,$ $c,$ và $d$ biểu thị độ dài của các đoạn được chỉ ra trong hình. Tìm tích $abc$ nếu $a+b+c=43$ và $d=3.$

Tìm $a$ nếu $a$ và $b$ là các số nguyên sao cho $x^2-x-1$ là thừa số của $ax^{17}+bx^{16}+1.$

Gọi $C$ là đồ thị của $xy=1,$ và biểu thị bằng $C^*$ sự phản ánh của $C$ trong đường thẳng $y=2x.$ Viết phương trình của $C^*$ dưới dạng

$$
12x^2+bxy+cy^2+d=0.
$$

Tìm sản phẩm $bc.$

Tại một văn phòng vào nhiều thời điểm khác nhau trong ngày, ông chủ giao cho thư ký một lá thư để đánh máy, mỗi lần như vậy, lá thư sẽ được đặt lên trên chồng thư trong hộp thư của thư ký. Khi có thời gian, người thư ký lấy chữ cái trên cùng ra khỏi chồng và đánh máy. Có chín chữ cái phải gõ trong ngày và ông chủ giao chúng theo thứ tự $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ $6,$ $7,$ $8,$ $9.$

Trong khi đi ăn trưa, cô thư ký nói với một đồng nghiệp rằng bức thư $8$ đã được đánh máy nhưng không nói gì thêm về việc đánh máy buổi sáng. Người đồng nghiệp băn khoăn không biết chữ nào trong số chín chữ cái còn lại sẽ được gõ sau bữa trưa và chúng sẽ được gõ theo thứ tự nào. Dựa trên những thông tin trên, có thể thực hiện được bao nhiêu lệnh đánh máy sau bữa trưa như vậy? (Rằng không còn chữ nào để đánh máy là một trong những khả năng.)