Xét số nguyên $$
\begin{aligned} &N = 9 + 99 + 999 + 9999 \\ &\quad {}+ \cdots + \underbrace{99\ldots99}_{\text{321 digits}}. \end{aligned}
$$ Tìm tổng các chữ số của $N.$
Jenn chọn ngẫu nhiên một số $J$ từ $1,$ $2,$ $3,$ $\ldots,$ $19,$ $20.$ Bela sau đó chọn ngẫu nhiên một số $B$ từ $1,$ $2,$ $3,$ $\ldots,$ $19,$ $20$ khác biệt với $J.$ Giá trị của $B - J$ là ít nhất $2$ với xác suất có thể được biểu thị dưới dạng $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$
Trong $\triangle PQR,$ $PR = 15,$ $QR = 20,$ và $PQ = 25.$ Điểm $A$ và $B$ nằm trên $\overline{PQ},$ điểm $C$ và $D$ nằm trên $\overline{QR},$ và các điểm $E$ và $F$ nằm trên $\overline{PR},$ với $PA = QB = QC$ $= RD = RE = PF = 5.$ Tìm diện tích của lục giác $ABCDEF.$
Một đội bóng đá có sẵn $22$ cầu thủ. Một nhóm người chơi $11$ cố định bắt đầu trò chơi, trong khi $11$ khác có sẵn để thay thế. Trong trận đấu, huấn luyện viên có thể thực hiện tối đa $3$ sự thay người, trong đó bất kỳ một trong số $11$ cầu thủ trong trận đấu được thay thế bằng một trong những cầu thủ dự bị. Không người chơi nào bị xóa khỏi trò chơi có thể vào lại trò chơi, mặc dù người thay thế vào trò chơi có thể được thay thế sau đó. Không có hai sự thay thế có thể xảy ra cùng một lúc. Các cầu thủ tham gia và thứ tự thay người rất quan trọng. Gọi $n$ là số cách huấn luyện viên có thể thay người trong trận đấu (bao gồm cả khả năng không thay người). Tìm số dư khi $n$ được chia cho $1000.$
Một hạt chuyển động bắt đầu tại điểm $(4, 4)$ và di chuyển cho đến khi nó chạm vào một trong các trục tọa độ lần đầu tiên. Khi hạt ở điểm $(a, b),$, nó di chuyển ngẫu nhiên đến một trong các điểm $(a - 1, b),$ $(a, b - 1),$ hoặc $(a - 1, b - 1),$ mỗi điểm có xác suất $\frac{1}{3},$ độc lập với các bước di chuyển trước đó của nó. xác suất mà nó sẽ chạm vào các trục tọa độ tại $(0, 0)$ là $\frac{m}{3^n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương và $m$ không phải là chia hết cho $3.$ Tìm $m + n.$
Trong tứ giác lồi $KLMN,$ cạnh $\overline{MN}$ vuông góc với đường chéo $\overline{KM},$ cạnh $\overline{KL}$ vuông góc với đường chéo $\overline{LN},$ $MN = 65,$ và $KL = 28.$ Đường thẳng đi qua $L$ vuông góc với cạnh $\overline{KN}$ cắt đường chéo $\overline{KM}$ tại $O$ với $KO = 8.$ Tìm $MO.$
Có các số nguyên dương $x$ và $y$ thỏa mãn hệ phương trình $$
\log_{10} x + 2\log_{10}(\gcd(x, y)) = 60
$$ $$
\begin{aligned} &\log_{10} y \\ &\quad {}+ 2\log_{10}(\operatorname{lcm}(x, y)) = 570. \end{aligned}
$$ Đặt $m$ là số thừa số nguyên tố (không nhất thiết phải khác biệt) trong hệ số nguyên tố của $x,$ và đặt $n$ là số thừa số nguyên tố (không nhất thiết phải khác biệt) trong hệ số nguyên tố của $y.$ Tìm $3m + 2n.$
Giả sử $x$ là một số thực sao cho $\sin^{10} x + \cos^{10} x = \frac{11}{36}.$ Khi đó $\sin^{12} x + \cos^{12} x = \frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$
Đối với các số phức riêng biệt $z_1,$ $z_2,$ $\ldots,$ $z_{673},$ thì đa thức $$
\begin{gathered} (x - z_1)^3 (x - z_2)^3 \\ \cdots (x - z_{673})^3 \end{gathered}
$$ có thể được biểu diễn dưới dạng $x^{2019} + 20x^{2018}$ $+ 19x^{2017} + g(x),$ trong đó $g(x)$ là đa thức có hệ số phức và có bậc nhiều nhất $2016.$ Giá trị của $$
\left| \sum_{1 \le j \lt k \le 673} z_j z_k \right|
$$ có thể được biểu thị dưới dạng $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$
Trong $\triangle ABC,$ các cạnh có độ dài nguyên và $AB = AC.$ Đường tròn $\omega$ có tâm ở tâm của $\triangle ABC.$ Một *excircle* của $\triangle ABC$ là một đường tròn ở bên ngoài $\triangle ABC$ tiếp tuyến với một cạnh của tam giác và tiếp tuyến với phần mở rộng của hai cạnh còn lại các bên. Giả sử rằng đường tròn ngoại tiếp tiếp xúc với $\overline{BC}$ là tiếp xúc trong với $\omega,$ và hai đường tròn ngoại tiếp còn lại đều tiếp xúc ngoài với $\omega.$ Tìm giá trị nhỏ nhất có thể có của chu vi của $\triangle ABC.$
Cho $f(z) = z^2 - 19z,$ có các số phức $z$ có tính chất $z,$ $f(z),$ và $f(f(z))$ là các đỉnh của tam giác vuông trong mặt phẳng phức có góc vuông tại $f(z).$ Có các số nguyên dương $m$ và $n$ sao cho một giá trị như vậy của $z$ là $m + \sqrt{n} + 11\mathrm{i}.$ Tìm $m + n.$
Tam giác $ABC$ có độ dài các cạnh $AB = 4,$ $BC = 5,$ và $CA = 6.$ Các điểm $D$ và $E$ nằm trên tia $AB$ với $AB \lt AD \lt AE.$ Điểm $F \neq C$ là một điểm của giao điểm của các đường tròn ngoại tiếp $\triangle ACD$ và $\triangle EBC$ thỏa mãn $DF = 2$ và $EF = 7.$ Khi đó $BE$ có thể được biểu thị dưới dạng $\frac{a + b\sqrt{c}}{d},$ trong đó $a,$ $b,$ $c,$ và $d$ là các số nguyên dương sao cho $a$ và $d$ là các số nguyên tố cùng nhau và $c$ không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào. Tìm $a + b + c + d.$
Cho $\overline{AB}$ là dây cung của đường tròn $\omega,$ và cho $P$ là một điểm trên dây $\overline{AB}.$ Đường tròn $\omega_1$ đi qua $A$ và $P$ và tiếp tuyến nội bộ với $\omega.$ Vòng tròn $\omega_2$ đi qua $B$ và $P$ và tiếp tuyến nội bộ với $\omega.$ Đường tròn $\omega_1$ và $\omega_2$ cắt nhau tại các điểm $P$ và $Q.$ Đường thẳng $PQ$ cắt $\omega$ tại $X$ và $Y.$ Giả sử rằng $AP = 5,$ $PB = 3,$ $XY = 11,$ và $PQ^2 = \frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các nguyên tố dương tương đối số nguyên. Tìm $m + n.$