Ngân hàng câu hỏi AIME 2015

Đặt $N$ là số nguyên dương nhỏ nhất có cả $22$ nhỏ hơn một số nguyên phần trăm và lớn hơn $16$ phần trăm so với số nguyên khác. Tìm số dư khi $N$ được chia cho $1000.$

Trong một trường học mới $40$ phần trăm học sinh là sinh viên năm nhất, $30$ phần trăm là sinh viên năm hai, $20$ phần trăm là sinh viên năm cuối và $10$ phần trăm là sinh viên năm cuối. Tất cả sinh viên năm nhất được yêu cầu học tiếng Latinh và $80$ phần trăm sinh viên năm hai, $50$ phần trăm sinh viên năm cuối và $20$ phần trăm sinh viên năm cuối chọn học tiếng Latinh. xác suất mà một sinh viên Latinh được chọn ngẫu nhiên là sinh viên năm hai là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$

Đặt $m$ là số nguyên dương nhỏ nhất chia hết cho $17$ có các chữ số có tổng bằng $17.$ Tìm $m.$

Trong một hình cân hình thang, các đáy song song có độ dài $\log 3$ và $\log 192,$ và độ cao tới các đáy này có độ dài $\log 16.$ chu vi của hình thang có thể được viết dưới dạng $\log 2^p 3^q,$ trong đó $p$ và $q$ là số nguyên dương. Tìm $p + q.$

Hai ô vuông đơn vị được chọn ngẫu nhiên mà không thay thế từ lưới $n \times n$ gồm các ô vuông đơn vị. Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $n$ sao cho xác suất mà hai hình vuông được chọn nằm cạnh nhau theo chiều ngang hoặc chiều dọc nhỏ hơn $\frac{1}{2015}.$

Steve nói với Jon, "Tôi đang nghĩ về một đa thức có gốc đều là số nguyên dương. Đa thức này có dạng $P(x) = 2x^3 - 2ax^2$ $+ (a^2 - 81)x - c$ với một số số nguyên dương $a$ và $c.$ Bạn có thể cho tôi biết giá trị của $a$ và $c?$"

Sau một hồi tính toán, Jon nói: “Có nhiều hơn một đa thức như vậy”.

Steve nói, "Bạn nói đúng. Đây là giá trị của $a.$" Anh ấy viết ra một số nguyên dương và hỏi, "Bạn có thể cho tôi biết giá trị của $c?$"

Jon nói: “Vẫn còn hai giá trị có thể có của $c.$”

Tìm tổng của hai giá trị có thể có của $c.$

Tam giác $ABC$ có độ dài các cạnh $AB = 12,$ $BC = 25,$ và $CA = 17.$ Hình chữ nhật $PQRS$ có đỉnh $P$ trên $\overline{AB},$ đỉnh $Q$ trên $\overline{AC},$ và các đỉnh $R$ và $S$ trên $\overline{BC}.$ Xét về độ dài cạnh $PQ = w,$ thì diện tích của $PQRS$ có thể được biểu thị dưới dạng đa thức bậc hai $$
\text{Area}(PQRS) = \alpha w - \beta \cdot w^2.
$$ Khi đó hệ số $\beta = \frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$

Đặt $a$ và $b$ là số nguyên dương thỏa mãn $\frac{ab + 1}{a + b} \lt \frac{3}{2}.$ Giá trị tối đa có thể có của $\frac{a^3 b^3 + 1}{a^3 + b^3}$ là $\frac{p}{q},$ trong đó $p$ và $q$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $p + q.$

Một thùng hình trụ có bán kính $4$ feet và chiều cao $10$ feet chứa đầy nước. Một khối lập phương đặc có chiều dài cạnh $8$ feet được đặt vào thùng sao cho đường chéo của khối lập phương thẳng đứng. Do đó, thể tích lượng nước bị dịch chuyển là $v$ feet khối. Tìm $v^2.$

Gọi một hoán vị $a_1,$ $a_2,$ $\ldots,$ $a_n$ của các số nguyên $1,$ $2,$ $\ldots,$ $n$ *gần như tăng* if $a_k \le a_{k+1} + 2$ cho mỗi $1 \le k \le n - 1.$ Ví dụ: $53421$ và $14253$ là các hoán vị gần như tăng dần của các số nguyên $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ nhưng $45123$ thì không. Tìm số hoán vị gần như tăng dần của các số nguyên $1,$ $2,$ $\ldots,$ $7.$

Đường tròn ngoại tiếp nhọn $\triangle ABC$ có tâm $O.$ Đường thẳng đi qua điểm $O$ vuông góc với $\overline{OB}$ cắt các đường thẳng $AB$ và $BC$ tại $P$ và $Q,$ tương ứng. Ngoài ra $AB = 5,$ $BC = 4,$ $BQ = 4.5,$ và $BP = \frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$

Có thể có $2^{10} = 1024$ chuỗi chữ cái $10$ trong đó mỗi chữ cái là A hoặc B. Tìm số chuỗi không có nhiều hơn $3$ chữ cái liền kề giống hệt nhau.

Xác định chuỗi $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots$ theo $a_n = \sum_{k=1}^{n} \sin(k),$ trong đó $k$ biểu thị số đo radian. Tìm chỉ số của số hạng thứ $100$mà $a_n \lt 0.$

Cho $x$ và $y$ là các số thực thỏa mãn $x^4 y^5 + y^4 x^5 = 810$ và $x^3 y^6 + y^3 x^6 = 945.$ Đánh giá $2x^3 + (xy)^3 + 2y^3.$

Các đường tròn $\mathcal{P}$ và $\mathcal{Q}$ lần lượt có bán kính $1$ và $4,$ và tiếp tuyến ngoài tại điểm $A.$ Điểm $B$ nằm trên $\mathcal{P}$ và điểm $C$ nằm trên $\mathcal{Q}$ sao cho đường thẳng $BC$ là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn. Một đường thẳng $\ell$ đến $A$ cắt $\mathcal{P}$ lần nữa tại $D$ và cắt $\mathcal{Q}$ lần nữa tại $E.$ Điểm $B$ và $C$ nằm trên cùng một phía của $\ell,$ và diện tích của $\triangle DBA$ và $\triangle ACE$ bằng nhau. diện tích chung này là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$

Các biểu thức $A = 1 \times 2$ $+ 3 \times 4$ $+ 5 \times 6$ $+ \cdots$ $+ 37 \times 38 + 39$ và $B = 1$ $+ 2 \times 3$ $+ 4 \times 5$ $+ \cdots$ $+ 36 \times 37$ $+ 38 \times 39$ thu được bằng cách viết các toán tử nhân và cộng theo kiểu xen kẽ giữa các số nguyên liên tiếp. Tìm hiệu dương giữa các số nguyên $A$ và $B.$

Chín đại biểu tham dự Hội nghị Hợp tác Kinh tế bao gồm $2$ quan chức từ Mexico, $3$ quan chức từ Canada và $4$ quan chức từ Hoa Kỳ. Trong phiên khai mạc, 3 đại biểu đã ngủ gật. Giả sử rằng ba tà vẹt được xác định ngẫu nhiên, xác suất có chính xác hai trong số các tà vẹt đến từ cùng một quốc gia là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$

Có một số nguyên tố $p$ sao cho $16p + 1$ là lập phương của một số nguyên dương. Tìm $p.$

Điểm $B$ nằm trên đoạn thẳng $\overline{AC}$ với $AB = 16$ và $BC = 4.$ Điểm $D$ và $E$ nằm trên cùng một phía của đường thẳng $AC$ tạo thành các tam giác đều $\triangle ABD$ và $\triangle BCE.$ Đặt $M$ là trung điểm của $\overline{AE},$ và $N$ là trung điểm của $\overline{CD}.$ diện tích của $\triangle BMN$ là $x.$ Tìm $x^2.$

Trong ngăn kéo, Sandy có $5$ đôi tất, mỗi đôi có một màu khác nhau. Vào Thứ Hai, Sandy chọn ngẫu nhiên hai chiếc tất riêng lẻ từ $10$ tất trong ngăn kéo. Vào Thứ Ba, Sandy chọn ngẫu nhiên $2$ trong số $8$ tất còn lại và vào Thứ Tư, chọn ngẫu nhiên hai trong số $6$ tất còn lại. xác suất mà Thứ Tư là ngày đầu tiên Sandy chọn tất phù hợp là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$