Các điểm $A,$ $B,$ và $C$ nằm theo thứ tự đó dọc theo một đường thẳng trong đó khoảng cách từ $A$ đến $C$ là $1800$ mét. Ina chạy nhanh gấp đôi Eve và Paul chạy nhanh gấp đôi Ina. Ba người chạy bắt đầu chạy cùng lúc với Ina xuất phát tại $A$ và chạy về phía $C,$ Paul xuất phát tại $B$ và chạy về phía $C,$ và Eve xuất phát tại $C$ và chạy về phía $A.$ Khi Paul gặp Eve, anh ấy quay lại và chạy về phía $A.$ Paul và Ina đều đến $B$ cùng một lúc. Tìm số mét từ $A$ đến $B.$
Đặt $a_0 = 2,$ $a_1 = 5,$ và $a_2 = 8,$ và cho $n \gt 2$ xác định $a_n$ đệ quy là số dư khi $4(a_{n-1} + a_{n-2} + a_{n-3})$ được chia cho $11.$ Tìm $a_{2018} \cdot a_{2020} \cdot a_{2022}.$
Tìm tổng của tất cả các số nguyên dương $b \lt 1000$ sao cho số nguyên cơ sở-$b$ $36_{b}$ là một số chính phương và số nguyên cơ sở-$b$ $27_{b}$ là một khối lập phương hoàn hảo.
Trong hình bát giác đều $CAROLINE,$ $CA = RO = LI = NE = \sqrt{2}$ và $AR = OL = IN = EC = 1.$ Hình bát giác tự giao nhau $CORNELIA$ bao quanh sáu vùng hình tam giác không chồng lên nhau. Đặt $K$ là diện tích được bao quanh bởi $CORNELIA,$ tức là tổng diện tích của sáu vùng hình tam giác. Khi đó $K = \frac{a}{b},$ trong đó $a$ và $b$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $a + b.$
Giả sử rằng $x,$ $y,$ và $z$ là các số phức sao cho $xy = -80 - 320i,$ $yz = 60,$ và $zx = -96 + 24i,$ trong đó $i = \sqrt{-1}.$ Khi đó có các số thực $a$ và $b$ sao cho $x + y + z = a + bi.$ Tìm $a^2 + b^2.$
Một số thực $a$ được chọn ngẫu nhiên và thống nhất từ khoảng $[-20, 18].$ xác suất mà các nghiệm của đa thức $$
\begin{aligned} &x^4 + 2ax^3 + (2a - 2)x^2 \\ &\quad {}+ (-4a + 3)x - 2 \end{aligned}
$$ đều là số thực có thể được viết dưới dạng $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$
Tam giác $ABC$ có độ dài các cạnh $AB = 9,$ $BC = 5\sqrt{3},$ và $AC = 12.$ Điểm $A = P_0,$ $P_1,$ $P_2,$ $\ldots,$ $P_{2450} = B$ nằm trên đoạn thẳng $\overline{AB}$ với $P_k$ giữa $P_{k-1}$ và $P_{k+1}$ cho $k = 1,$ $2,$ $\ldots,$ $2449,$ và điểm $A = Q_0,$ $Q_1,$ $Q_2,$ $\ldots,$ $Q_{2450} = C$ nằm trên phân đoạn $\overline{AC}$ với $Q_k$ giữa $Q_{k-1}$ và $Q_{k+1}$ cho $k = 1,$ $2,$ $\ldots,$ $2449.$ Hơn nữa, mỗi đoạn $\overline{P_kQ_k},$ $k = 1,$ $2,$ $\ldots,$ $2449,$ song song với $\overline{BC}.$ Các đoạn cắt tam giác thành các vùng $2450$, bao gồm $2449$ hình thang và tam giác $1$. Mỗi vùng $2450$ có cùng diện tích. Tìm số đoạn $\overline{P_kQ_k},$ $k = 1,$ $2,$ $\ldots,$ $2450,$ có độ dài hợp lý.
Một con ếch được đặt ở gốc tọa độ. Từ điểm $(x, y),$ con ếch có thể nhảy đến bất kỳ điểm nào $(x + 1, y),$ $(x + 2, y),$ $(x, y + 1),$ hoặc $(x, y + 2).$ Tìm số chuỗi bước nhảy riêng biệt trong đó con ếch bắt đầu tại $(0, 0)$ và kết thúc tại $(4, 4).$
Hình bát giác $ABCDEFGH$ có độ dài các cạnh $AB = CD = EF = GH = 10$ và $BC = DE = FG = HA = 11$ được hình thành bằng cách loại bỏ bốn hình tam giác $6$-$8$-$10$ khỏi các góc của hình chữ nhật $23 \times 27$ có cạnh $\overline{AH}$ ở một cạnh ngắn hình chữ nhật như hình vẽ. Đặt $J$ là trung điểm của $\overline{AH},$ và phân chia hình bát giác thành $7$ tam giác bằng cách vẽ các đoạn $\overline{JB},$ $\overline{JC},$ $\overline{JD},$ $\overline{JE},$ $\overline{JF},$ và $\overline{JG}.$ Tìm diện tích của đa giác lồi có các đỉnh là trọng tâm của các tam giác $7$ này.
Tìm số hoán vị của $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ $6$ sao cho với mỗi $k$ với $1 \le k \le 5,$ ít nhất một trong những hoán vị đầu tiên $k$ số hạng của hoán vị lớn hơn $k.$
Giả sử $ABCD$ là một tứ giác lồi với $AB = CD = 10,$ $BC = 14,$ và $AD = 2\sqrt{65}.$ Giả sử rằng các đường chéo của $ABCD$ cắt nhau tại điểm $P,$ và tổng diện tích của các hình tam giác $APB$ và $CPD$ bằng tổng diện tích các tam giác $BPC$ và $APD.$ Tìm diện tích của tứ giác $ABCD.$
Misha tung xúc xắc sáu mặt tiêu chuẩn, công bằng cho đến khi cô tung $1$-$2$-$3$ theo thứ tự đó vào ba lần tung liên tiếp. xác suất mà cô ấy sẽ tung xúc xắc số lẻ lần là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$
Đường tròn nội tiếp $\omega$ của tam giác $ABC$ tiếp xúc với $\overline{BC}$ tại $X.$ Giả sử $Y \neq X$ là giao điểm còn lại của $\overline{AX}$ với $\omega.$ Điểm $P$ và $Q$ lần lượt nằm trên $\overline{AB}$ và $\overline{AC},$ sao cho $\overline{PQ}$ tiếp tuyến với $\omega$ tại $Y.$ Giả sử rằng $AP = 3,$ $PB = 4,$ $AC = 8,$ và $AQ = \frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$
Tìm số hàm $f$ từ $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ đến các số nguyên sao cho $f(0) = 0,$ $f(6) = 12,$ và $$
\begin{aligned} |x - y| &\le |f(x) - f(y)| \\ &\le 3|x - y| \end{aligned}
$$ với mọi $x$ và $y$ trong $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}.$
