Ngân hàng câu hỏi AIME 1996

Trong một hình vuông ma thuật, tổng của ba phần tử ở bất kỳ hàng, cột hoặc đường chéo nào đều có cùng giá trị. Hình vẽ cho thấy bốn mục của một hình vuông ma thuật. Tìm $x.$

Với mỗi số thực $x,$ đặt $\lfloor x\rfloor$ biểu thị số nguyên lớn nhất không vượt quá $x.$ Có bao nhiêu số nguyên dương $n$ có đúng là $n<1000$ và $\lfloor\log_2 n\rfloor$ là số nguyên dương không?

Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $n$ mà việc khai triển $(xy-3x+7y-21)^n,$ sau khi thu thập các số hạng giống nhau, có các số hạng ít nhất $1996$.

Một khối lập phương bằng gỗ có cạnh dài 1cm nằm trên một mặt phẳng nằm ngang. Được chiếu sáng bởi một nguồn ánh sáng điểm có chiều cao $x$ cm ngay trên đỉnh trên, khối lập phương tạo bóng trên bề mặt nằm ngang. diện tích của bóng, không bao gồm diện tích bên dưới khối, là $48$ cm vuông. Tìm số nguyên lớn nhất không vượt quá $1000x.$

Giả sử rằng các nghiệm của $x^3+3x^2+4x-11=0$ là $a,$ $b,$ và $c,$ và các nghiệm của $x^3+rx^2+sx+t=0$ là $a+b,$ $b+c,$ và $c+a.$ Tìm $t.$

Trong một giải đấu gồm năm đội, mỗi đội chơi một trận với mỗi đội khác. Mỗi đội có $50\%$ cơ hội thắng bất kỳ trò chơi nào mà đội đó chơi. Không có ràng buộc. Giả sử $\frac{m}{n}$ là xác suất mà giải đấu sẽ không tạo ra đội bất bại hay đội không thắng, trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m+n.$

Hai trong số các ô vuông của bàn cờ $7\times7$ được sơn màu vàng và các ô còn lại được sơn màu xanh lá cây. Hai cách phối màu tương đương nhau nếu có thể lấy được một cách phối màu từ cách phối màu kia bằng cách áp dụng một phép quay trong mặt phẳng của bảng. Có thể có bao nhiêu cách phối màu không tương đương?

Hàm số trung bình cộng của hai số dương là nghịch đảo của số học trung bình cộng của nghịch đảo của chúng. Có bao nhiêu cặp số nguyên dương có thứ tự $(x,y),$ với $x<y,$ là điều hòa trung bình cộng của $x$ và $y$ bằng $6^{20}?$

Một sinh viên buồn chán bước xuống hành lang có một dãy tủ khóa đóng kín, được đánh số từ $1$ đến $1024.$ Anh ta mở tủ khóa $1,$ rồi luân phiên giữa việc bỏ qua và mở từng tủ khóa đã đóng sau đó. Khi đến cuối hành lang, người sinh viên quay lại và bắt đầu quay lại. Anh ta mở chiếc tủ đựng đồ đã đóng đầu tiên mà anh ta gặp, sau đó luân phiên bỏ qua và mở từng chiếc tủ đã đóng sau đó. Học sinh tiếp tục đi lang thang theo cách này cho đến khi mọi tủ khóa đều mở. Số tủ cuối cùng anh ta mở là bao nhiêu?

Tìm nghiệm số nguyên dương nhỏ nhất của $$
\tan(19x^\circ)=\frac{\cos96^\circ+\sin96^\circ}{\cos96^\circ-\sin96^\circ}.
$$

Đặt $P$ là tích của các nghiệm của $$
z^6+z^4+z^3+z^2+1=0
$$ có phần ảo dương và giả sử rằng $P=r(\cos\theta^\circ+i\sin\theta^\circ),$ trong đó $r>0$ và $0\leq\theta<360.$ Tìm $\theta.$

Đối với mỗi hoán vị $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots,$ $a_{10}$ của các số nguyên $1,$ $2,$ $3,$ $\ldots,$ $10,$ tạo thành tổng $$
\begin{gathered}|a_1-a_2|+|a_3-a_4|\\+|a_5-a_6|+|a_7-a_8|\\+|a_9-a_{10}|.\end{gathered}
$$ Giá trị trung bình của tất cả các tổng như vậy có thể được viết dưới dạng $\frac{p}{q},$ trong đó $p$ và $q$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $p+q.$

Trong tam giác $ABC,$ $AB=\sqrt{30},$ $AC=\sqrt6,$ và $BC=\sqrt{15}.$ Có một điểm $D$ mà $\overline{AD}$ chia đôi $\overline{BC},$ và $\angle ADB$ là một góc vuông. Tỷ lệ $$
\frac{\operatorname{Area}(\triangle ADB)}{\operatorname{Area}(\triangle ABC)}
$$ có thể được viết dưới dạng $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m+n.$

Một khối hình chữ nhật $150\times324\times375$ được tạo ra bằng cách dán các hình khối $1\times1\times1$ lại với nhau. Đường chéo trong của hình khối này đi qua phần bên trong của bao nhiêu khối $1\times1\times1$?

Trong hình bình hành $ABCD,$ đặt $O$ là giao điểm của các đường chéo $\overline{AC}$ và $\overline{BD}.$ Các góc $CAB$ và $DBC$ đều lớn gấp đôi góc $DBA,$ và góc $ACB$ là $r$ gấp góc $AOB.$ Tìm số nguyên lớn nhất không vượt quá $1000r.$