Ngân hàng câu hỏi AIME 1997

Có bao nhiêu số nguyên nằm giữa $1$ và $1000,$, có thể được biểu diễn dưới dạng hiệu bình phương của hai số nguyên không âm?

Chín đường ngang và chín đường dọc trên bàn cờ $8 \times 8$ tạo thành hình chữ nhật $r$, trong đó $s$ là hình vuông. Số $\frac{s}{r}$ có thể được viết dưới dạng $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$

Sarah định nhân số có hai chữ số và số có ba chữ số, nhưng cô ấy đã bỏ dấu nhân và chỉ đặt số có hai chữ số ở bên trái số có ba chữ số, từ đó tạo thành số có năm chữ số. Con số này chính xác gấp chín lần sản phẩm mà lẽ ra Sarah phải có được. Tổng của số có hai chữ số và số có ba chữ số là bao nhiêu?

Các vòng tròn bán kính $5,$ $5,$ $8,$ và $\frac{m}{n}$ là tiếp xúc ngoài với nhau, trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$

Số $r$ có thể được biểu thị dưới dạng số thập phân bốn chữ số $0.abcd,$ trong đó $a,$ $b,$ $c,$ và $d$ đại diện cho các chữ số, bất kỳ số nào trong số đó có thể bằng 0. Người ta mong muốn tính gần đúng $r$ theo một phân số có tử số là $1$ hoặc $2$ và có mẫu số là số nguyên. Phân số gần nhất với $r$ là $\frac{2}{7}.$ Số giá trị có thể có của $r?$ là bao nhiêu?

Điểm $B$ nằm ở bên ngoài đa giác đều có cạnh $n$ $A_1A_2\cdots A_n,$ và $A_1A_2B$ là một tam giác đều. Giá trị lớn nhất của $n$ mà $A_n,$ $A_1,$ và $B$ là các đỉnh liên tiếp của một đa giác đều là bao nhiêu?

Một ô tô đi về phía đông với vận tốc $\frac{2}{3}$ dặm/phút trên một con đường thẳng và dài. Đồng thời, một cơn bão hình tròn, có bán kính là $51$ dặm, di chuyển về phía đông nam với tốc độ $\frac{1}{2}\sqrt{2}$ dặm mỗi phút. Tại thời điểm $t = 0,$ tâm bão cách $110$ dặm về phía bắc của ô tô. Tại thời điểm $t = t_1$ phút, ô tô đi vào vòng bão, tại thời điểm $t = t_2$ phút, ô tô rời khỏi vòng bão. Tìm $\frac{1}{2}(t_1 + t_2).$

Có bao nhiêu mảng $4 \times 4$ khác nhau có các phần tử đều là $1$ và $-1$ có thuộc tính là tổng các phần tử trong mỗi hàng là $0$ và tổng các phần tử trong mỗi cột là $0?$

Cho một số thực không âm $x,$ đặt $\langle x\rangle$ biểu thị phần phân số của $x;$ nghĩa là, $\langle x\rangle = x - \lfloor x\rfloor,$ trong đó $\lfloor x\rfloor$ biểu thị số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng $x.$ Giả sử rằng $a$ là dương, $\langle a^{-1}\rangle = \langle a^2\rangle,$ và $2 \lt a^2 \lt 3.$ Tìm giá trị của $a^{12} - 144a^{-1}.$

Mỗi lá bài trong bộ bài đều có một hình ảnh có một hình dạng — hình tròn, hình vuông hoặc hình tam giác, được sơn bằng một trong ba màu — đỏ, xanh lam hoặc xanh lục. Hơn nữa, mỗi màu được áp dụng theo một trong ba sắc thái - sáng, trung bình hoặc tối. Bộ bài có $27$ thẻ, với mọi sự kết hợp hình dạng-màu sắc-sắc thái được thể hiện. Một bộ ba lá bài từ bộ bài được gọi là *bổ sung* nếu tất cả các câu sau đây đều đúng:

• Mỗi lá bài có hình dạng khác nhau hoặc cả ba lá bài đều có hình dạng giống nhau.

• Mỗi lá bài có một màu khác nhau hoặc cả ba lá bài đều có cùng màu.

• Mỗi lá bài có một sắc thái khác nhau hoặc cả ba lá bài đều có cùng sắc thái.

Có bao nhiêu bộ ba lá bài bổ sung khác nhau?

Đặt $$
x = \frac{\displaystyle\sum_{n=1}^{44} \cos n^\circ}{\displaystyle\sum_{n=1}^{44} \sin n^\circ}.
$$ Số nguyên lớn nhất không vượt quá $100x?$ là bao nhiêu?

Hàm $f$ được xác định bởi $f(x) = \frac{ax + b}{cx + d},$ trong đó $a,$ $b,$ $c,$ và $d$ là các số thực khác 0, có các thuộc tính $f(19) = 19,$ $f(97) = 97,$ và $f(f(x)) = x$ cho tất cả các giá trị ngoại trừ $\frac{-d}{c}.$ Tìm số duy nhất không nằm trong phạm vi $f.$

Đặt $S$ là tập hợp các điểm trong mặt phẳng Descartes thỏa mãn $$
\begin{aligned} &\Bigl|\bigl||x| - 2\bigr| - 1\Bigr| \\ &\quad {}+ \Bigl|\bigl||y| - 2\bigr| - 1\Bigr| = 1. \end{aligned}
$$ Nếu mô hình của $S$ được chế tạo từ dây có độ dày không đáng kể thì tổng chiều dài của dây cần thiết sẽ là $a\sqrt{b},$ trong đó $a$ và $b$ là các số nguyên dương và $b$ không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào. Tìm $a + b.$

Đặt $v$ và $w$ là các nghiệm riêng biệt, được chọn ngẫu nhiên của phương trình $z^{1997} - 1 = 0.$ Đặt $\frac{m}{n}$ là xác suất mà $\sqrt{2 + \sqrt{3}} \le |v + w|,$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$

Các cạnh của hình chữ nhật $ABCD$ có độ dài $10$ và $11.$ Một tam giác đều được vẽ sao cho không có điểm nào của tam giác nằm ngoài $ABCD.$ Giá trị lớn nhất diện tích của một tam giác như vậy có thể được viết dưới dạng $p\sqrt{q} - r,$ trong đó $p,$ $q,$ và $r$ là số nguyên dương và $q$ không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào. Tìm $p + q + r.$