Ngân hàng câu hỏi AIME 2021

Tìm số học trung bình cộng của tất cả các palindrome ba chữ số. (Hãy nhớ rằng palindrome là một số đọc xuôi và đọc ngược giống nhau, chẳng hạn như $777$ hoặc $383.$)

tam giác đều $ABC$ có độ dài cạnh $840.$ Điểm $D$ nằm trên cùng một phía của đường thẳng $BC$ với $A$ sao cho $\overline{BD} \perp \overline{BC}.$ Đường thẳng $\ell$ đến $D$ song song để đường thẳng $BC$ cắt các cạnh $\overline{AB}$ và $\overline{AC}$ lần lượt tại các điểm $E$ và $F,$. Điểm $G$ nằm trên $\ell$ sao cho $F$ nằm giữa $E$ và $G,$ $\triangle AFG$ là cân và tỷ số của diện tích của $\triangle AFG$ so với diện tích của $\triangle BED$ là $8 : 9.$ Tìm $AF.$

Tìm số hoán vị $x_1,$ $x_2,$ $x_3,$ $x_4,$ $x_5$ của các số $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5$ sao cho tổng của 5 tích $$
\begin{aligned} &x_1x_2x_3 + x_2x_3x_4 \\ &\quad {}+ x_3x_4x_5 + x_4x_5x_1 \\ &\quad {}+ x_5x_1x_2 \end{aligned}
$$ là chia hết cho $3.$

Có các số thực $a,$ $b,$ $c,$ và $d$ sao cho $-20$ là nghiệm của $x^3 + ax + b$ và $-21$ là nghiệm của $x^3 + cx^2 + d.$ Hai đa thức này có chung một nghiệm phức $m + \sqrt{n} \cdot i,$ trong đó $m$ và $n$ là số nguyên dương và $i = \sqrt{-1}.$ Tìm $m + n.$

Đối với các số thực dương $s,$ đặt $\tau(s)$ biểu thị tập hợp tất cả các tam giác tù có diện tích $s$ và hai cạnh có độ dài $4$ và $10.$ Tập hợp tất cả $s$ mà $\tau(s)$ không trống, nhưng tất cả các tam giác trong $\tau(s)$ đều là bằng nhau, là một khoảng $[a, b).$ Tìm $a^2 + b^2.$

Với bất kỳ tập hữu hạn $S,$ đặt $|S|$ biểu thị số phần tử trong $S.$ Tìm số cặp có thứ tự $(A, B)$ sao cho $A$ và $B$ là các tập con (không nhất thiết phải khác biệt) của $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ thỏa mãn $$
|A| \cdot |B| = |A \cap B| \cdot |A \cup B|.
$$

Giả sử $a,$ $b,$ $c,$ và $d$ là các số thực thỏa mãn hệ phương trình $$
\begin{aligned} a + b &= -3, \\ ab + bc + ca &= -4, \end{aligned}
$$ $$
\begin{aligned} abc + bcd + cda + dab &= 14, \\ abcd &= 30. \end{aligned}
$$ Tồn tại các số nguyên dương tương đối nguyên tố $m$ và $n$ sao cho $$
a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = \frac{m}{n}.
$$ Tìm $m + n.$

Một con kiến thực hiện một chuỗi các bước di chuyển trên một khối lập phương trong đó một bước di chuyển bao gồm việc đi từ đỉnh này đến đỉnh liền kề dọc theo một cạnh của khối lập phương. Ban đầu con kiến ​​ở một đỉnh của mặt dưới của khối lập phương và chọn một trong ba đỉnh liền kề để di chuyển đến làm bước đi đầu tiên. Đối với tất cả các nước đi sau nước đi đầu tiên, con kiến ​​không quay trở lại đỉnh trước đó mà chọn di chuyển đến một trong hai đỉnh liền kề còn lại. Tất cả các lựa chọn được chọn ngẫu nhiên sao cho mỗi nước đi có thể xảy ra đều có khả năng xảy ra như nhau. xác suất mà sau khi $8$ di chuyển chính xác thì con kiến ​​đó ở đỉnh của mặt trên của khối lập phương là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$

Tìm số cặp có thứ tự $(m, n)$ sao cho $m$ và $n$ là các số nguyên dương trong tập $\{1, 2, \ldots, 30\}$ và ước chung lớn nhất của $2^m + 1$ và $2^n - 1$ không phải là $1.$

Hai mặt cầu có bán kính $36$ và một mặt cầu có bán kính $13$ mỗi mặt cầu tiếp xúc ngoài với hai mặt cầu còn lại và với hai mặt phẳng khác nhau $\mathcal{P}$ và $\mathcal{Q}.$ Giao điểm của các mặt phẳng $\mathcal{P}$ và $\mathcal{Q}$ là đường thẳng $\ell.$ Khoảng cách từ đường thẳng $\ell$ đến điểm mà hình cầu có bán kính $13$ tiếp xúc với mặt phẳng $\mathcal{P}$ là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$

Một giáo viên đang hướng dẫn một lớp học gồm bốn học sinh hoàn toàn logic. Giáo viên chọn một tập hợp $S$ gồm bốn số nguyên và đưa ra một số khác nhau trong $S$ cho mỗi học sinh. Sau đó, giáo viên thông báo với cả lớp rằng các số trong $S$ là bốn số nguyên dương có hai chữ số liên tiếp, một số trong $S$ là chia hết cho $6,$ và một số khác trong $S$ là chia hết cho $7.$ Sau đó, giáo viên hỏi liệu có bất kỳ số nào trong số đó không? học sinh có thể suy ra $S$ là gì, nhưng tất cả học sinh đều đồng thanh trả lời là không.

Tuy nhiên, khi nghe cả bốn học sinh đều trả lời không, mỗi học sinh đã có thể xác định các phần tử của $S.$ Tìm tổng tất cả các giá trị có thể có của phần tử lớn nhất của $S.$

Một tứ giác lồi có diện tích $30$ và độ dài các cạnh $5,$ $6,$ $9,$ và $7,$ theo thứ tự đó. Ký hiệu là $\theta$ số đo của góc nhọn tạo bởi các đường chéo của tứ giác. Khi đó $\tan \theta$ có thể được viết dưới dạng $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$

Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $n$ sao cho $2^n + 5^n - n$ là bội số của $1000.$

Giả sử $\triangle ABC$ là tam giác nhọn có tâm ngoại tiếp $O$ và tâm $G.$ Giả sử $X$ là giao điểm của đường tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp $\triangle ABC$ tại $A$ và đường thẳng vuông góc với $GO$ tại $G.$ Đặt $Y$ là giao điểm của các đường $XG$ và $BC.$ Cho rằng số đo của $\angle ABC,$ $\angle BCA,$ và $\angle XOY$ nằm trong tỷ lệ $13 : 2 : 17,$ số đo độ của $\angle BAC$ có thể được viết là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$

Đặt $f(n)$ và $g(n)$ là các hàm thỏa mãn $$
\begin{aligned} &f(n) = \\ &\quad \begin{cases} \sqrt{n} & \substack{\text{if } \sqrt{n} \text{ is} \\ \text{an integer}} \\ 1 + f(n+1) & \text{otherwise} \end{cases} \end{aligned}
$$ và $$
\begin{aligned} &g(n) = \\ &\quad \begin{cases} \sqrt{n} & \substack{\text{if } \sqrt{n} \text{ is} \\ \text{an integer}} \\ 2 + g(n+2) & \text{otherwise} \end{cases} \end{aligned}
$$ cho số nguyên dương $n.$ Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $n$ sao cho $\frac{f(n)}{g(n)} = \frac{4}{7}.$

Zou và Chou đang luyện tập chạy nước rút $100$ mét bằng cách chạy các cuộc đua $6$ với nhau. Zou thắng cuộc đua đầu tiên, và sau đó, xác suất mà một trong số họ thắng cuộc đua là $\frac{2}{3}$ nếu họ thắng cuộc đua trước nhưng chỉ $\frac{1}{3}$ nếu họ thua cuộc đua trước. xác suất mà Zou sẽ thắng chính xác $5$ của $6$ cuộc đua là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$

Trong sơ đồ bên dưới, $ABCD$ là hình chữ nhật có độ dài các cạnh $AB = 3$ và $BC = 11,$ và $AECF$ là hình chữ nhật có độ dài các cạnh $AF = 7$ và $FC = 9,$ như hình minh họa. diện tích của vùng bóng mờ chung cho phần bên trong của cả hai hình chữ nhật là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$

Tìm số số nguyên dương nhỏ hơn $1000$ có thể biểu diễn dưới dạng hiệu hai lũy thừa nguyên của $2.$

Tìm số cách $66$ những đồng xu giống nhau có thể được chia thành ba đống không trống sao cho có ít đồng xu ở chồng đồng xu thứ nhất hơn chồng đồng xu thứ hai và ít đồng xu ở chồng đồng xu thứ hai hơn ở chồng đồng xu thứ ba.

Gọi một số nguyên tăng dần ba số hạng cấp số cộng của các số nguyên *đặc biệt* nếu tổng bình phương của ba số hạng bằng tích của số hạng ở giữa và bình phương của hiệu chung. Tìm tổng các số hạng thứ ba của tất cả các dãy đặc biệt.