AIME II năm 2017

Tìm số tập con của $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ không phải là tập con của $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ hay $\{4, 5, 6, 7, 8\}.$

Các đội $T_1,$ $T_2,$ $T_3,$ và $T_4$ sẽ vào vòng loại trực tiếp. Ở các trận bán kết, $T_1$ đấu $T_4,$ và $T_2$ đấu $T_3.$ Đội thắng trong 2 trận đó sẽ đấu với nhau ở trận chung kết để xác định nhà vô địch. Khi $T_i$ chơi $T_j,$ thì xác suất mà $T_i$ thắng là $\frac{i}{i+j},$ và kết quả của tất cả các trận đấu là độc lập. xác suất mà $T_4$ sẽ vô địch là $\frac{p}{q},$ trong đó $p$ và $q$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $p + q.$

Một tam giác có các đỉnh $A(0, 0),$ $B(12, 0),$ và $C(8, 10).$ xác suất mà một điểm được chọn ngẫu nhiên bên trong tam giác gần với đỉnh $B$ hơn so với đỉnh $A$ hoặc đỉnh $C$ có thể được viết là $\frac{p}{q},$ trong đó $p$ và $q$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $p + q.$

Tìm số số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng $2017$ có biểu diễn cơ số ba không chứa chữ số nào bằng $0.$

Một bộ có bốn số. Sáu tổng theo cặp của các phần tử riêng biệt của tập hợp, không theo thứ tự cụ thể, là $189,$ $320,$ $287,$ $234,$ $x,$ và $y.$ Tìm giá trị lớn nhất có thể có của $x + y.$

Tìm tổng của tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $\sqrt{n^2 + 85n + 2017}$ là một số nguyên.

Tìm số giá trị nguyên của $k$ trong khoảng đóng $[-500, 500]$ sao cho phương trình $\log(kx) = 2\log(x + 2)$ có đúng một nghiệm thực.

Tìm số số nguyên dương $n$ nhỏ hơn $2017$ sao cho $$
\begin{aligned} &1 + n + \frac{n^2}{2!} + \frac{n^3}{3!} + \frac{n^4}{4!} \\ &{}+ \frac{n^5}{5!} + \frac{n^6}{6!} \end{aligned}
$$ là số nguyên.

Một bộ bài đặc biệt chứa các thẻ $49$, mỗi thẻ được đánh số từ $1$ đến $7$ và được tô màu bằng một trong bảy màu. Mỗi sự kết hợp số-màu xuất hiện trên đúng một thẻ. Sharon sẽ chọn ngẫu nhiên một bộ tám lá bài từ bộ bài. Cho rằng cô ấy nhận được ít nhất một thẻ mỗi màu và ít nhất một thẻ với mỗi số, xác suất mà Sharon có thể loại bỏ một trong các thẻ của cô ấy và *vẫn* có ít nhất một thẻ mỗi màu và ít nhất một thẻ với mỗi số là $\frac{p}{q},$ trong đó $p$ và $q$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $p + q.$

Hình chữ nhật $ABCD$ có độ dài các cạnh $AB = 84$ và $AD = 42.$ Điểm $M$ là trung điểm của $\overline{AD},$ điểm $N$ là điểm chia ba của $\overline{AB}$ gần với $A,$ và điểm $O$ là giao điểm của $\overline{CM}$ và $\overline{DN}.$ Điểm $P$ nằm trên tứ giác $BCON,$ và $\overline{BP}$ chia đôi diện tích của $BCON.$ Tìm diện tích của $\triangle CDP.$

Năm thị trấn được kết nối bằng hệ thống đường bộ. Có đúng một con đường nối mỗi cặp thị trấn. Tìm số cách để biến tất cả các con đường thành một chiều sao cho vẫn có thể đi từ thị trấn này đến thị trấn khác bằng đường này (có thể đi qua các thị trấn khác trên đường đi).

Đường tròn $C_0$ có bán kính $1,$ và điểm $A_0$ là một điểm trên đường tròn. Đường tròn $C_1$ có bán kính $r \lt 1$ và tiếp tuyến nội bộ với $C_0$ tại điểm $A_0.$ Điểm $A_1$ nằm trên đường tròn $C_1$ sao cho $A_1$ nằm trên $90^\circ$ ngược chiều kim đồng hồ từ $A_0$ trên $C_1.$ Đường tròn $C_2$ có bán kính $r^2$ và tiếp tuyến nội bộ với $C_1$ tại điểm $A_1.$ Theo cách này, một chuỗi các đường tròn $C_1,$ $C_2,$ $C_3,$ $\ldots$ và một chuỗi các điểm trên các đường tròn $A_1,$ $A_2,$ $A_3,$ $\ldots$ được xây dựng, trong đó đường tròn $C_n$ có bán kính $r^n$ và nằm bên trong tiếp tuyến với đường tròn $C_{n-1}$ tại điểm $A_{n-1},$ và điểm $A_n$ nằm trên $C_n$ $90^\circ$ ngược chiều kim đồng hồ từ điểm $A_{n-1},$ như trong hình bên dưới. Có một điểm $B$ bên trong tất cả các vòng tròn này. Khi $r = \frac{11}{60},$ khoảng cách từ tâm của $C_0$ đến $B$ là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$

Với mỗi số nguyên $n \ge 3,$ đặt $f(n)$ là số tập con phần tử $3$ của các đỉnh của một $n$-giác đều là các đỉnh của một tam giác cân (bao gồm cả các tam giác đều). Tìm tổng tất cả các giá trị của $n$ sao cho $f(n+1) = f(n) + 78.$

Lưới điểm $10 \times 10 \times 10$ bao gồm tất cả các điểm trong không gian có dạng $(i, j, k),$ trong đó $i,$ $j,$ và $k$ là các số nguyên nằm giữa $1$ và $10,$ bao gồm. Tìm số dòng khác nhau chứa chính xác $8$ của các điểm này.

Tứ diện $ABCD$ có $AD = BC = 28,$ $AC = BD = 44,$ và $AB = CD = 52.$ Đối với mọi điểm $X$ trong không gian, hãy xác định $f(X) = AX + BX$ $+ CX + DX.$ Giá trị nhỏ nhất có thể có của $f(X)$ có thể được biểu thị dưới dạng $m\sqrt{n},$ trong đó $m$ và $n$ là số nguyên dương và $n$ không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào. Tìm $m + n.$