Sáu điểm $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ $E,$ và $F$ nằm trên một đường thẳng theo thứ tự đó. Giả sử rằng $G$ là một điểm không nằm trên đường thẳng và $AC = 26,$ $BD = 22,$ $CE = 31,$ $DF = 33,$ $AF = 73,$ $CG = 40,$ và $DG = 30.$ Tìm diện tích của $\triangle BGE.$
Bốn ô vuông đơn vị tạo thành một lưới $2 \times 2$. Mỗi đoạn đường đơn vị $12$ tạo thành các cạnh của hình vuông được tô màu đỏ hoặc xanh lam sao cho mỗi hình vuông đơn vị có $2$ cạnh màu đỏ và $2$ cạnh màu xanh. Một ví dụ được hiển thị bên dưới (màu đỏ là nét liền, màu xanh là nét đứt). Tìm số màu như vậy.
Giả sử $\triangle ABC$ có các góc $\angle BAC = 84^\circ,$ $\angle ABC = 60^\circ,$ và $\angle ACB = 36^\circ.$ Đặt $D,$ $E,$ và $F$ là trung điểm của các cạnh $\overline{BC},$ $\overline{AC},$ và $\overline{AB},$ tương ứng. Đường tròn ngoại tiếp $\triangle DEF$ cắt $\overline{BD},$ $\overline{AE},$ và $\overline{AF}$ tại các điểm $G,$ $H,$ và $J,$ tương ứng. Các điểm $G,$ $D,$ $E,$ $H,$ $J,$ và $F$ chia đường tròn ngoại tiếp $\triangle DEF$ thành sáu cung nhỏ như minh họa. Tìm $\overset{\frown}{DE} + 2 \cdot \overset{\frown}{HJ} + 3 \cdot \overset{\frown}{FG},$ trong đó cung được đo bằng độ.
Đường tròn $\omega_1$ có bán kính $6$ tâm tại điểm $A$ tiếp tuyến nội tại tại điểm $B$ tới đường tròn $\omega_2$ có bán kính $15.$ Điểm $C$ và $D$ nằm trên $\omega_2$ sao cho $\overline{BC}$ là đường kính của $\omega_2$ và $\overline{BC} \perp \overline{AD}.$ Hình chữ nhật $EFGH$ được nội tiếp trong $\omega_1$ sao cho $\overline{EF} \perp \overline{BC},$ $C$ gần với $\overline{GH}$ hơn đến $\overline{EF},$ và $D$ gần với $\overline{FG}$ hơn là $\overline{EH},$ như được hiển thị. Tam giác $\triangle DGF$ và $\triangle CHG$ có diện tích bằng nhau. diện tích của hình chữ nhật $EFGH$ là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$
Đặt $A$ là tập hợp các ước số nguyên dương của $2025.$ Đặt $B$ là tập hợp con được chọn ngẫu nhiên của $A.$ xác suất mà $B$ là tập hợp khác rỗng với thuộc tính là bội số trong các phần tử của nó là $2025$ là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$
Từ nguồn cung cấp không giới hạn các đồng xu $1$-cent, $10$-cent và $25$-cent, Silas muốn tìm một bộ sưu tập các đồng xu có tổng giá trị là $N$ cent, trong đó $N$ là một số nguyên dương. Anh ta sử dụng cái gọi là *thuật toán tham lam*, liên tục chọn đồng xu có giá trị lớn nhất không khiến giá trị bộ sưu tập của anh ta vượt quá $N.$ Ví dụ: để nhận được $42$ xu, Silas sẽ chọn đồng xu $25$-cent, sau đó là đồng xu $10$-cent, sau đó là $7$ $1$ xu xu. Tuy nhiên, bộ sưu tập $9$ xu này sử dụng nhiều xu hơn mức cần thiết để có được tổng cộng $42$ xu; thật vậy, việc chọn đồng xu $4$ $10$-cent và $2$ $1$-cent sẽ đạt được tổng giá trị tương tự chỉ với $6$ xu.
Nói chung, thuật toán tham lam thành công với một $N$ nhất định nếu không có bộ sưu tập nào khác gồm $1$-cent, $10$-cent và $25$-cent có tổng giá trị là $N$ xu sử dụng ít xu hơn so với bộ sưu tập được đưa ra bởi thuật toán tham lam. Tìm số giá trị của $N$ giữa $1$ và $1000$ để thuật toán tham lam thành công.
Có các giá trị $n$ của $x$ trong khoảng $0 \lt x \lt 2\pi$ trong đó $f(x) = \sin(7\pi \cdot \sin(5x)) = 0.$ Với $t$ trong số các giá trị $n$ này của $x,$ đồ thị của $y = f(x)$ tiếp tuyến với $x$-trục. Tìm $n + t.$
Mười sáu chiếc ghế được xếp thành một hàng. Tám người mỗi người chọn một chiếc ghế để ngồi sao cho không có người nào ngồi cạnh hai người khác. Đặt $N$ là số tập hợp con của $16$ ghế có thể được chọn. Tìm số dư khi $N$ được chia cho $1000.$
Đặt $S$ là tập hợp các đỉnh của một $24$-giác thông thường. Tìm số cách vẽ các đoạn $12$ có độ dài bằng nhau sao cho mỗi đỉnh trong $S$ là điểm cuối của chính xác một trong các đoạn $12$.
Cho $A_1A_2 \ldots A_{11}$ là một đa giác đơn không lồi có cạnh $11$ với các tính chất sau:
• Với mọi số nguyên $2 \le i \le 10,$ thì diện tích của $\triangle A_iA_1A_{i+1}$ là $1.$
• Với mọi số nguyên $2 \le i \le 10,$ $\cos(\angle A_iA_1A_{i+1}) = \frac{12}{13}.$
• chu vi của $11$-gon $A_1A_2 \ldots A_{11}$ bằng $20.$
Khi đó $A_1A_2 + A_1A_{11}$ có thể được biểu thị dưới dạng $\frac{m\sqrt{n} - p}{q}$ trong đó $m,$ $n,$ $p,$ và $q$ là các số nguyên dương, $n$ không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào và không có số nguyên tố nào chia hết tất cả $m,$ $p,$ và $q.$ Tìm $m + n + p + q.$
Đặt chuỗi các số hữu tỷ $x_1,$ $x_2,$ $\ldots$ được xác định sao cho $x_1 = \frac{25}{11}$ và $$
x_{k+1} = \frac{1}{3}\left(x_k + \frac{1}{x_k} - 1\right)
$$ cho tất cả $k \ge 1.$ Sau đó $x_{2025}$ có thể được biểu thị dưới dạng $\frac{m}{n}$ cho các số nguyên dương tương đối nguyên tố $m$ và $n.$ Tìm số dư khi $m + n$ được chia cho $1000.$
Cho $\triangle ABC$ là một tam giác vuông với $\angle A = 90^\circ$ và $BC = 38.$ Tồn tại các điểm $K$ và $L$ bên trong tam giác sao cho $$
\begin{gathered} AK = AL = BK \\ = CL = KL = 14. \end{gathered}
$$ diện tích của tứ giác $BKLC$ có thể được biểu diễn dưới dạng $n\sqrt{3}$ đối với một số nguyên dương $n.$ Tìm $n.$
Có chính xác ba số thực dương $k$ sao cho hàm $$
\begin{aligned} f(x) &= \frac{(x - 18)(x - 72)}{x} \\ &\quad {}\cdot (x - 98)(x - k) \end{aligned}
$$ được xác định trên các số thực dương đạt giá trị nhỏ nhất tại chính xác hai số thực dương $x.$ Tìm tổng của ba giá trị này của $k.$
