Mỗi buổi sáng, Aya đi bộ dài $9$ km và sau đó dừng lại ở một quán cà phê. Khi cô ấy đi bộ với tốc độ không đổi $s$ kilômét một giờ, việc đi bộ đó mất $4$ giờ, bao gồm $t$ phút ở quán cà phê. Khi cô ấy đi bộ $s + 2$ kilômét một giờ, việc đi bộ đó khiến cô ấy mất $2$ giờ và $24$ phút, bao gồm $t$ phút ở quán cà phê. Giả sử Aya đi bộ với vận tốc $s + \frac{1}{2}$ km/h. Tìm số phút cô ấy đi bộ, bao gồm $t$ phút ở quán cà phê.
Alice và Bob chơi trò chơi sau. Một chồng mã thông báo $n$ nằm trước mặt họ. Người chơi lần lượt chọn Alice đi trước. Ở mỗi lượt, người chơi loại bỏ mã thông báo $1$ hoặc $4$ khỏi chồng đồng xu. Người chơi loại bỏ mã thông báo cuối cùng sẽ thắng. Tìm số số nguyên dương $n$ nhỏ hơn hoặc bằng $2024$ sao cho có chiến lược đảm bảo rằng Bob thắng, bất kể nước đi của Alice như thế nào.
Jen tham gia xổ số bằng cách chọn $4$ phần tử riêng biệt của $S = \{1, 2, 3, \ldots, 9, 10\}.$ Sau đó, bốn phần tử của $S$ được rút ngẫu nhiên. Jen giành được giải thưởng nếu ít nhất hai số của cô ấy được rút ra và giành được giải thưởng lớn nếu cả bốn số của cô ấy đều được rút ra. xác suất mà Jen giành được giải thưởng lớn nếu Jen giành được giải thưởng là $\frac{m}{n}$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$
Hình chữ nhật $ABCD$ có kích thước $AB = 107$ và $BC = 16,$ và hình chữ nhật $EFGH$ có kích thước $EF = 184$ và $FG = 17.$ Điểm $D,$ $E,$ $C,$ và $F$ nằm trên dòng $DF$ theo thứ tự đó, và $A$ và $H$ nằm ở hai phía đối diện của dòng $DF,$ như được hiển thị. Các điểm $A,$ $D,$ $H,$ và $G$ nằm trên một đường tròn chung. Tìm $CE.$
Hãy xem xét các đường dẫn có độ dài $16$ đi theo các đường từ góc dưới bên trái đến góc trên bên phải trên lưới $8 \times 8$. Tìm số đường đi đổi hướng đúng bốn lần, như trong ví dụ dưới đây.
Tìm phần thực lớn nhất có thể có của $$
(75 + 117\mathrm{i})z + \frac{96 + 144\mathrm{i}}{z}
$$ trong đó $z$ là số phức với $|z| = 4.$ Tại đây $\mathrm{i} = \sqrt{-1}.$
Tám đường tròn bán kính $34$ có thể được đặt tiếp tuyến với $\overline{BC}$ của $\triangle ABC$ sao cho các đường tròn tuần tự tiếp xúc với nhau, với đường tròn đầu tiên tiếp xúc với $\overline{AB}$ và đường tròn cuối cùng tiếp xúc với $\overline{AC},$ như minh họa. Tương tự, $2024$ đường tròn bán kính $1$ có thể được đặt tiếp tuyến với $\overline{BC}$ theo cách tương tự. Bán kính của $\triangle ABC$ có thể được biểu thị dưới dạng $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$
Đặt $A,$ $B,$ $C,$ và $D$ là các điểm trên hyperbola $\frac{x^2}{20} - \frac{y^2}{24} = 1$ sao cho $ABCD$ là hình thoi có các đường chéo cắt nhau tại gốc tọa độ. Tìm số lớn nhất nhỏ hơn $BD^2$ cho tất cả các hình thoi $ABCD.$
Cho $\triangle ABC$ có độ dài các cạnh $AB = 5,$ $BC = 9,$ và $CA = 10.$ Các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp $\triangle ABC$ tại $B$ và $C$ cắt nhau tại điểm $D,$ và $\overline{AD}$ cắt đường tròn ngoại tiếp tại $P \ne A.$ Độ dài của $AP$ bằng $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$
Mỗi đỉnh của một hình bát giác đều được tô màu độc lập là đỏ hoặc xanh với xác suất bằng nhau. xác suất mà hình bát giác sau đó có thể được xoay sao cho tất cả các đỉnh màu xanh lam đều kết thúc tại các vị trí từng có các đỉnh màu đỏ là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$
Xác định $f(x) = \left||x| - \tfrac{1}{2}\right|$ và $g(x) = \left||x| - \tfrac{1}{4}\right|.$ Tìm số giao điểm của đồ thị $$
y = 4g(f(\sin(2\pi x)))
$$ và $$
x = 4g(f(\cos(3\pi y))).
$$
Giả sử $p$ là số nguyên tố nhỏ nhất tồn tại số nguyên $n$ sao cho $n^4 + 1$ là chia hết cho $p^2.$ Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $m$ sao cho $m^4 + 1$ là chia hết cho $p^2.$
Giả sử $ABCD$ là một tứ diện sao cho $AB = CD = \sqrt{41},$ $AC = BD = \sqrt{80},$ và $BC = AD = \sqrt{89}.$ Tồn tại một điểm $I$ bên trong tứ diện sao cho khoảng cách từ $I$ đến mỗi mặt của tứ diện đều bằng nhau. Khoảng cách này có thể được viết dưới dạng $\frac{m\sqrt{n}}{p},$ trong đó $m,$ $n,$ và $p$ là số nguyên dương, $m$ và $p$ là các số nguyên tố cùng nhau và $n$ không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào. Tìm $m + n + p.$
Đặt $\mathcal{B}$ là tập hợp các hộp hình chữ nhật có bề mặt diện tích $54$ và thể tích $23.$ Đặt $r$ là bán kính của hình cầu nhỏ nhất có thể chứa mỗi hộp hình chữ nhật là các phần tử của $\mathcal{B}.$ Giá trị của $r^2$ có thể được viết là $\frac{p}{q},$ trong đó $p$ và $q$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $p + q.$
