Mười lăm điểm riêng biệt được chỉ định trên $\triangle ABC:$ $3$ các đỉnh $A,$ $B,$ và $C;$ $3$ các điểm khác ở bên $\overline{AB};$ $4$ các điểm khác ở bên $\overline{BC};$ và $5$ các điểm khác trên cạnh $\overline{CA}.$ Tìm số tam giác có diện tích dương có các đỉnh nằm trong số $15$ điểm này.
Khi mỗi $702,$ $787,$ và $855$ được chia cho số nguyên dương $m,$ thì số dư luôn là số nguyên dương $r.$ Khi mỗi $412,$ $722,$ và $815$ được chia cho số nguyên dương $n,$ số dư luôn là số nguyên dương $s \neq r.$ Tìm $m + n + r + s.$
Đối với số nguyên dương $n,$ đặt $d_n$ là chữ số hàng đơn vị của $1 + 2 + 3 + \cdots + n.$ Tìm số dư khi $$
\sum_{n=1}^{2017} d_n
$$ được chia cho $1000.$
Một hình chóp có đáy hình tam giác có độ dài các cạnh $20,$ $20,$ và $24.$ Ba cạnh của hình chóp từ ba góc của đáy đến đỉnh thứ tư của hình chóp đều có chiều dài $25.$ thể tích của hình chóp là $m\sqrt{n},$ trong đó $m$ và $n$ là số nguyên dương và $n$ không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào. Tìm $m + n.$
Một số hữu tỷ được viết theo cơ số tám là $\underline{a}\,\underline{b}.\underline{c}\,\underline{d},$ trong đó tất cả các chữ số đều khác 0. Số tương tự trong cơ số mười hai là $\underline{b}\,\underline{b}.\underline{b}\,\underline{a}.$ Tìm số cơ số mười $\underline{a}\,\underline{b}\,\underline{c}.$
Một đường tròn được bao quanh một tam giác cân có hai góc bằng nhau có số đo độ $x.$ Hai điểm được chọn độc lập và thống nhất một cách ngẫu nhiên trên đường tròn và một dây cung được vẽ giữa chúng. xác suất mà dây cung cắt tam giác là $\frac{14}{25}.$ Tìm chênh lệch giữa giá trị lớn nhất và nhỏ nhất có thể có của $x.$
Đối với các số nguyên không âm $a$ và $b$ với $a + b \le 6,$ hãy để $T(a, b) = \binom{6}{a}\binom{6}{b}\binom{6}{a+b}.$ Đặt $S$ biểu thị tổng của tất cả $T(a, b),$ trong đó $a$ và $b$ là các số nguyên không âm với $a + b \le 6.$ Tìm số dư khi $S$ được chia cho $1000.$
Hai số thực $a$ và $b$ được chọn độc lập và thống nhất một cách ngẫu nhiên từ khoảng $(0, 75).$ Cho $O$ và $P$ là hai điểm trong mặt phẳng với $OP = 200.$ Cho $Q$ và $R$ là các điểm trên cùng một phía của đường thẳng $OP$ sao cho số đo độ của $\angle POQ$ và $\angle POR$ lần lượt là $a$ và $b,$ và $\angle OQP$ và $\angle ORP$ đều là các góc vuông. xác suất mà $QR \le 100$ bằng $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$
Đặt $z_1 = 18 + 83\mathrm{i},$ $z_2 = 18 + 39\mathrm{i},$ và $z_3 = 78 + 99\mathrm{i},$ trong đó $\mathrm{i} = \sqrt{-1}.$ Đặt $z$ là số phức duy nhất có tính chất $\frac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1} \cdot \frac{z - z_2}{z - z_3}$ là số thực và phần ảo của $z$ là lớn nhất có thể. Tìm phần thực của $z.$
Hãy xem xét việc sắp xếp các số $9$ $1,$ $2,$ $3,$ $\ldots,$ $9$ trong một mảng $3 \times 3$. Đối với mỗi cách sắp xếp như vậy, hãy đặt $a_1,$ $a_2,$ và $a_3$ lần lượt là trung vị của các số trong hàng $1,$ $2,$ và $3,$, sau đó đặt $m$ là trung vị của $\{a_1, a_2, a_3\}.$ Đặt $Q$ là số cách sắp xếp mà $m = 5.$ Tìm số dư khi $Q$ được chia cho $1000.$
Gọi một tập hợp $S$ *không có sản phẩm* nếu không tồn tại $a,$ $b,$ $c \in S$ (không nhất thiết phải khác biệt) sao cho $ab = c.$ Ví dụ: tập rỗng và tập $\{16, 20\}$ là không có sản phẩm, trong khi các tập $\{4, 16\}$ và $\{2, 8, 16\}$ không phải là không có sản phẩm. Tìm số tập con không có sản phẩm của tập hợp $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}.$
Với mọi $m \ge 2,$ đặt $Q(m)$ là số nguyên dương nhỏ nhất với thuộc tính sau: Với mọi $n \ge Q(m),$ luôn có một khối lập phương hoàn hảo $k^3$ trong phạm vi $n \lt k^3 \le m \cdot n.$ Tìm số dư khi $$
\sum_{m=2}^{2017} Q(m)
$$ được chia cho $1000.$
diện tích của tam giác đều nhỏ nhất có một đỉnh trên mỗi cạnh của tam giác vuông với độ dài các cạnh $2\sqrt{3},$ $5,$ và $\sqrt{37},$ như được hiển thị, là $\frac{m\sqrt{p}}{n},$ trong đó $m,$ $n,$ và $p$ là các số nguyên dương, $m$ và $n$ là các số nguyên tố cùng nhau và $p$ không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào. Tìm $m + n + p.$
