Các điểm $A,$ $B,$ và $C$ nằm theo thứ tự đó dọc theo một đường thẳng trong đó khoảng cách từ $A$ đến $C$ là $1800$ mét. Ina chạy nhanh gấp đôi Eve và Paul chạy nhanh gấp đôi Ina. Ba người chạy bắt đầu chạy cùng lúc với Ina xuất phát tại $A$ và chạy về phía $C,$ Paul xuất phát tại $B$ và chạy về phía $C,$ và Eve xuất phát tại $C$ và chạy về phía $A.$ Khi Paul gặp Eve, anh ấy quay lại và chạy về phía $A.$ Paul và Ina đều đến $B$ cùng một lúc. Tìm số mét từ $A$ đến $B.$
Đặt $a_0 = 2,$ $a_1 = 5,$ và $a_2 = 8,$ và cho $n \gt 2$ xác định $a_n$ đệ quy là số dư khi $4(a_{n-1} + a_{n-2} + a_{n-3})$ được chia cho $11.$ Tìm $a_{2018} \cdot a_{2020} \cdot a_{2022}.$
Tìm tổng của tất cả các số nguyên dương $b \lt 1000$ sao cho số nguyên cơ sở-$b$ $36_{b}$ là một số chính phương và số nguyên cơ sở-$b$ $27_{b}$ là một khối lập phương hoàn hảo.
Trong hình bát giác đều $CAROLINE,$ $CA = RO = LI = NE = \sqrt{2}$ và $AR = OL = IN = EC = 1.$ Hình bát giác tự giao nhau $CORNELIA$ bao quanh sáu vùng hình tam giác không chồng lên nhau. Đặt $K$ là diện tích được bao quanh bởi $CORNELIA,$ tức là tổng diện tích của sáu vùng hình tam giác. Khi đó $K = \frac{a}{b},$ trong đó $a$ và $b$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $a + b.$
Giả sử rằng $x,$ $y,$ và $z$ là các số phức sao cho $xy = -80 - 320i,$ $yz = 60,$ và $zx = -96 + 24i,$ trong đó $i = \sqrt{-1}.$ Khi đó có các số thực $a$ và $b$ sao cho $x + y + z = a + bi.$ Tìm $a^2 + b^2.$
Một số thực $a$ được chọn ngẫu nhiên và thống nhất từ khoảng $[-20, 18].$ xác suất mà các nghiệm của đa thức $$
\begin{aligned} &x^4 + 2ax^3 + (2a - 2)x^2 \\ &\quad {}+ (-4a + 3)x - 2 \end{aligned}
$$ đều là số thực có thể được viết dưới dạng $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$
Tam giác $ABC$ có độ dài các cạnh $AB = 9,$ $BC = 5\sqrt{3},$ và $AC = 12.$ Điểm $A = P_0,$ $P_1,$ $P_2,$ $\ldots,$ $P_{2450} = B$ nằm trên đoạn thẳng $\overline{AB}$ với $P_k$ giữa $P_{k-1}$ và $P_{k+1}$ cho $k = 1,$ $2,$ $\ldots,$ $2449,$ và điểm $A = Q_0,$ $Q_1,$ $Q_2,$ $\ldots,$ $Q_{2450} = C$ nằm trên phân đoạn $\overline{AC}$ với $Q_k$ giữa $Q_{k-1}$ và $Q_{k+1}$ cho $k = 1,$ $2,$ $\ldots,$ $2449.$ Hơn nữa, mỗi đoạn $\overline{P_kQ_k},$ $k = 1,$ $2,$ $\ldots,$ $2449,$ song song với $\overline{BC}.$ Các đoạn cắt tam giác thành các vùng $2450$, bao gồm $2449$ hình thang và tam giác $1$. Mỗi vùng $2450$ có cùng diện tích. Tìm số đoạn $\overline{P_kQ_k},$ $k = 1,$ $2,$ $\ldots,$ $2450,$ có độ dài hợp lý.
Một con ếch được đặt ở gốc tọa độ. Từ điểm $(x, y),$ con ếch có thể nhảy đến bất kỳ điểm nào $(x + 1, y),$ $(x + 2, y),$ $(x, y + 1),$ hoặc $(x, y + 2).$ Tìm số chuỗi bước nhảy riêng biệt trong đó con ếch bắt đầu tại $(0, 0)$ và kết thúc tại $(4, 4).$
Hình bát giác $ABCDEFGH$ có độ dài các cạnh $AB = CD = EF = GH = 10$ và $BC = DE = FG = HA = 11$ được hình thành bằng cách loại bỏ bốn hình tam giác $6$-$8$-$10$ khỏi các góc của hình chữ nhật $23 \times 27$ có cạnh $\overline{AH}$ ở một cạnh ngắn hình chữ nhật như hình vẽ. Đặt $J$ là trung điểm của $\overline{AH},$ và phân chia hình bát giác thành $7$ tam giác bằng cách vẽ các đoạn $\overline{JB},$ $\overline{JC},$ $\overline{JD},$ $\overline{JE},$ $\overline{JF},$ và $\overline{JG}.$ Tìm diện tích của đa giác lồi có các đỉnh là trọng tâm của các tam giác $7$ này.
Tìm số hoán vị của $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ $6$ sao cho với mỗi $k$ với $1 \le k \le 5,$ ít nhất một trong những hoán vị đầu tiên $k$ số hạng của hoán vị lớn hơn $k.$
Giả sử $ABCD$ là một tứ giác lồi với $AB = CD = 10,$ $BC = 14,$ và $AD = 2\sqrt{65}.$ Giả sử rằng các đường chéo của $ABCD$ cắt nhau tại điểm $P,$ và tổng diện tích của các hình tam giác $APB$ và $CPD$ bằng tổng diện tích các tam giác $BPC$ và $APD.$ Tìm diện tích của tứ giác $ABCD.$
Misha tung xúc xắc sáu mặt tiêu chuẩn, công bằng cho đến khi cô tung $1$-$2$-$3$ theo thứ tự đó vào ba lần tung liên tiếp. xác suất mà cô ấy sẽ tung xúc xắc số lẻ lần là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$
Đường tròn nội tiếp $\omega$ của tam giác $ABC$ tiếp xúc với $\overline{BC}$ tại $X.$ Giả sử $Y \neq X$ là giao điểm còn lại của $\overline{AX}$ với $\omega.$ Điểm $P$ và $Q$ lần lượt nằm trên $\overline{AB}$ và $\overline{AC},$ sao cho $\overline{PQ}$ tiếp tuyến với $\omega$ tại $Y.$ Giả sử rằng $AP = 3,$ $PB = 4,$ $AC = 8,$ và $AQ = \frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$
Tìm số hàm $f$ từ $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ đến các số nguyên sao cho $f(0) = 0,$ $f(6) = 12,$ và $$
\begin{aligned} |x - y| &\le |f(x) - f(y)| \\ &\le 3|x - y| \end{aligned}
$$ với mọi $x$ và $y$ trong $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}.$
Đặt $S$ là số cặp số nguyên có thứ tự $(a, b),$ với $1 \le a \le 100$ và $b \ge 0,$ sao cho đa thức $x^2 + ax + b$ có thể được phân tích thành tích của hai thừa số tuyến tính (không nhất thiết phải phân biệt) với hệ số nguyên. Tìm số dư khi $S$ được chia cho $1000.$
Số $n$ có thể được viết ở cơ số $14$ là $\underline{a}\,\underline{b}\,\underline{c},$ có thể được viết ở cơ số $15$ là $\underline{a}\,\underline{c}\,\underline{b},$ và có thể được viết ở cơ số $6$ là $\underline{a}\,\underline{c}\,\underline{a}\,\underline{c},$ trong đó $a \gt 0.$ Tìm cơ sở-$10$ biểu diễn của $n.$
Kathy có $5$ thẻ đỏ và $5$ thẻ xanh. Cô xáo trộn các thẻ $10$ và xếp $5$ các thẻ liên tiếp theo thứ tự ngẫu nhiên. Cô ấy sẽ hạnh phúc khi và chỉ khi tất cả các thẻ đỏ được đặt cạnh nhau và tất cả các thẻ xanh được đặt cạnh nhau. Ví dụ: các lệnh đặt thẻ RRGGG, GGGGR hoặc RRRRR sẽ khiến Kathy hài lòng, nhưng RRRGR thì không. xác suất mà Kathy sẽ vui là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$
Trong $\triangle ABC,$ $AB = AC = 10$ và $BC = 12.$ Điểm $D$ nằm hoàn toàn giữa $A$ và $B$ trên $\overline{AB}$ và điểm $E$ nằm hoàn toàn giữa $A$ và $C$ trên $\overline{AC}$ sao cho $AD = DE = EC.$ Khi đó $AD$ có thể được biểu diễn dưới dạng $\frac{p}{q},$ trong đó $p$ và $q$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $p + q.$
Với mỗi cặp số thực có thứ tự $(x, y)$ thỏa mãn $$
\begin{aligned} &\log_2(2x + y) \\ &= \log_4(x^2 + xy + 7y^2), \end{aligned}
$$ tồn tại một số thực $K$ sao cho $$
\begin{aligned} &\log_3(3x + y) \\ &= \log_9(3x^2 + 4xy + Ky^2). \end{aligned}
$$ Tìm tích của tất cả các giá trị có thể có của $K.$
