Người ta cho rằng $\log_{6} a + \log_{6} b + \log_{6} c = 6,$ trong đó $a,$ $b,$ và $c$ là các số nguyên dương tạo thành cấp số nhân và $b - a$ là bình phương của một số nguyên. Tìm $a + b + c.$
Các khối sân hiên là đơn vị hình lục giác đều $1$ ở một bên được sử dụng để phác thảo một khu vườn bằng cách đặt các khối cạnh nhau với $n$ ở mỗi bên. Sơ đồ chỉ ra đường đi của các khối xung quanh khu vườn khi $n = 5.$
Nếu $n = 202,$ thì diện tích của khu vườn được bao quanh bởi con đường, không bao gồm chính con đường đó, là $m\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ đơn vị vuông, trong đó $m$ là một số nguyên dương. Tìm số dư khi $m$ được chia cho $1000.$
Được biết, với mọi số nguyên dương $k,$ $$
\begin{aligned} &1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + k^2 \\ &= \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}. \end{aligned}
$$ Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $k$ sao cho $1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + k^2$ là bội số của $200.$
Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $k$ mà phương trình $\left\lfloor \frac{2002}{n} \right\rfloor = k$ không có nghiệm nguyên cho $n.$ (Ký hiệu $\lfloor x \rfloor$ có nghĩa là số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng $x.$)
Đặt $S$ là tập hợp $\{1, 2, 3, \ldots, 10\}.$ Đặt $n$ là số tập hợp gồm hai tập con rời rạc không trống của $S.$ (*Các tập hợp rời* được định nghĩa là các tập hợp không có phần tử chung.) Tìm số dư thu được khi chia $n$ cho $1000.$
Trong khi tìm sin của một góc nhất định, một giáo sư đãng trí đã không nhận thấy rằng máy tính của mình không ở chế độ góc chính xác. Anh thật may mắn khi nhận được câu trả lời đúng. Hai giá trị thực dương nhỏ nhất của $x$ mà sin của $x$ độ giống với sin của $x$ radian là $\frac{m\pi}{n - \pi}$ và $\frac{p\pi}{q + \pi},$ trong đó $m,$ $n,$ $p,$ và $q$ là số nguyên dương. Tìm $m + n + p + q.$
Hai chuỗi hình học vô hạn, thực, riêng biệt, mỗi chuỗi có tổng là $1$ và có cùng số hạng thứ hai. Số hạng thứ ba của một trong các chuỗi là $\frac{1}{8},$ và số hạng thứ hai của cả hai chuỗi có thể được viết dưới dạng $\frac{\sqrt{m} - n}{p},$ trong đó $m,$ $n,$ và $p$ là các số nguyên dương và $m$ không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào. Tìm $100m + 10n + p.$
Một cầu thủ bóng rổ có hằng số xác suất là $0.4$ thực hiện bất kỳ cú đánh nào, không phụ thuộc vào các cú đánh trước đó. Gọi $a_n$ là tỷ lệ số cú sút được thực hiện trên số cú sút được thực hiện sau $n$ cú sút. xác suất mà $a_{10} = 0.4$ và $a_n \le 0.4$ cho tất cả $n$ sao cho $1 \le n \le 9$ được cho là $\frac{p^a q^b r}{\left(s^c\right)},$ trong đó $p,$ $q,$ $r,$ và $s$ là số nguyên tố và $a,$ $b,$ và $c$ là số nguyên dương. Tìm $(p + q + r + s)(a + b + c).$
Trong tam giác $ABC,$ điểm $D$ nằm trên $\overline{BC}$ với $CD = 2$ và $DB = 5,$ điểm $E$ nằm trên $\overline{AC}$ với $CE = 1$ và $EA = 3,$ $AB = 8,$ và $\overline{AD}$ và $\overline{BE}$ cắt nhau tại $P.$ Điểm $Q$ và $R$ nằm trên $\overline{AB}$ sao cho $\overline{PQ}$ song song với $\overline{CA}$ và $\overline{PR}$ song song với $\overline{CB}.$ Người ta cho rằng tỉ số của diện tích của tam giác $PQR$ với diện tích của tam giác $ABC$ là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$
chu vi của tam giác $APM$ là $152,$ và góc $PAM$ là góc vuông. Một đường tròn bán kính $19$ có tâm $O$ trên $\overline{AP}$ được vẽ sao cho nó tiếp xúc với $\overline{AM}$ và $\overline{PM}.$ Cho rằng $OP = \frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố, tìm $m + n.$
Các đường tròn $C_1$ và $C_2$ cắt nhau tại hai điểm, một trong số đó là $(9, 6),$ và tích bán kính của chúng là $68.$ Trục $x$ và đường thẳng $y = mx,$ trong đó $m \gt 0,$ tiếp tuyến với cả hai đường tròn. Người ta cho rằng $m$ có thể được viết dưới dạng $\frac{a\sqrt{b}}{c},$ trong đó $a,$ $b,$ và $c$ là các số nguyên dương, $b$ không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào và $a$ và $c$ tương đối nguyên tố. Tìm $a + b + c.$
Nhiều tiểu bang sử dụng một chuỗi gồm ba chữ cái, theo sau là một chuỗi ba chữ số làm mẫu biển số xe tiêu chuẩn của họ. Cho rằng mỗi cách sắp xếp ba chữ cái có ba chữ số đều có khả năng như nhau, xác suất mà biển số xe như vậy sẽ chứa ít nhất một bảng màu (một cách sắp xếp ba chữ cái hoặc một cách sắp xếp ba chữ số đọc từ trái sang phải giống như đọc từ phải sang trái) là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$
Sơ đồ hiển thị 20 vòng tròn bằng nhau được sắp xếp thành ba hàng và được bao bọc trong một hình chữ nhật. Các vòng tròn tiếp xúc với nhau và với các cạnh của hình chữ nhật như trong hình. Tỷ lệ giữa chiều dài hơn của hình chữ nhật với chiều ngắn hơn có thể được viết là $\frac{1}{2}\left(\sqrt{p} - q\right),$ trong đó $p$ và $q$ là số nguyên dương. Tìm $p + q.$
Jane $25$ tuổi. Dick lớn tuổi hơn Jane. Trong $n$ năm, trong đó $n$ là số nguyên dương, tuổi của Dick và tuổi của Jane đều sẽ là số có hai chữ số và sẽ có tính chất là tuổi của Jane có được bằng cách hoán đổi các chữ số của tuổi Dick. Gọi $d$ là tuổi của Dick hiện nay. Có thể có bao nhiêu cặp số nguyên dương theo thứ tự $(d, n)$?
Xét dãy được xác định bởi $a_k = \frac{1}{k^2 + k}$ cho $k \ge 1.$ Cho rằng $a_m + a_{m+1} + \cdots + a_{n-1} = \frac{1}{29},$ cho các số nguyên dương $m$ và $n$ với $m \lt n,$ tìm $m + n.$
Đặt $A_1,$ $A_2,$ $A_3,$ $\ldots,$ $A_{12}$ là các đỉnh của một hình mười hai cạnh đều. Có bao nhiêu hình vuông phân biệt trong mặt phẳng của hình mười hai giác có ít nhất hai đỉnh trong tập hợp $\{A_1, A_2, A_3, \ldots, A_{12}\}?$
