Hai điểm khác nhau, $C$ và $D,$ nằm trên cùng một phía của đường thẳng $AB$ sao cho $\triangle ABC$ và $\triangle BAD$ là bằng nhau với $AB = 9,$ $BC = AD = 10,$ và $CA = DB = 17.$ Giao điểm của hai vùng tam giác này có diện tích $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$
Những miếng hoa súng $1,$ $2,$ $3,$ $\ldots$ nằm thành một hàng trên ao. Một con ếch thực hiện một chuỗi các bước nhảy bắt đầu trên miếng đệm $1.$ Từ bất kỳ miếng đệm $k$ con ếch nhảy đến miếng đệm $k + 1$ hoặc miếng đệm $k + 2$ được chọn ngẫu nhiên với xác suất $\frac{1}{2}$ và độc lập với các bước nhảy khác. xác suất mà con ếch ghé thăm bảng $7$ là $\frac{p}{q},$ trong đó $p$ và $q$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $p + q.$
Một xúc xắc công bằng sáu mặt tiêu chuẩn được tung ra bốn lần. xác suất mà tích của cả bốn số được tung ra là số chính phương là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$
Bốn đại sứ và một cố vấn cho mỗi người sẽ ngồi ở một bàn tròn có $12$ ghế được đánh số theo thứ tự $1$ đến $12.$ Mỗi đại sứ phải ngồi trên một chiếc ghế được đánh số chẵn. Mỗi cố vấn phải ngồi trên chiếc ghế cạnh đại sứ của mình. Có $N$ cách để $8$ người ngồi vào bàn trong những điều kiện này. Tìm số dư khi $N$ được chia cho $1000.$
Trong nền văn minh sao Hỏa, tất cả logarit có cơ số không được chỉ định đều được coi là cơ số $b,$ cho một số $b \ge 2.$ cố định Một học sinh sao Hỏa viết ra $$
3\log(\sqrt{x}\log x) = 56
$$ $$
\log_{\log x}(x) = 54
$$ và thấy rằng hệ phương trình này có một nghiệm số thực duy nhất $x \gt 1.$ Tìm $b.$
Tam giác $ABC$ có độ dài các cạnh $AB = 120,$ $BC = 220,$ và $AC = 180.$ Các đường thẳng $\ell_A,$ $\ell_B,$ và $\ell_C$ được vẽ song song với $\overline{BC},$ $\overline{AC},$ và $\overline{AB},$ tương ứng, sao cho các giao điểm của $\ell_A,$ $\ell_B,$ và $\ell_C$ với phần bên trong của $\triangle ABC$ lần lượt là các đoạn có độ dài $55,$ $45,$ và $15,$. Tìm chu vi của tam giác có các cạnh nằm trên các đường thẳng $\ell_A,$ $\ell_B,$ và $\ell_C.$
Đa thức $f(z) = az^{2018} + bz^{2017} + cz^{2016}$ có hệ số thực không vượt quá $2019,$ và $f\left(\frac{1 + \sqrt{3}i}{2}\right) = 2015 + 2019\sqrt{3}i.$ Tìm số dư khi $f(1)$ chia cho $1000.$
Gọi số nguyên dương $n$ *$k$-pretty* nếu $n$ có chính xác $k$ ước số dương và $n$ là chia hết cho $k.$ Ví dụ: $18$ là $6$-đẹp. Đặt $S$ là tổng của các số nguyên dương nhỏ hơn $2019$ là $20$-đẹp. Tìm $\frac{S}{20}.$
Có một góc duy nhất $\theta$ giữa $0^\circ$ và $90^\circ$ sao cho đối với số nguyên không âm $n,$ giá trị của $\tan(2^n\theta)$ là dương khi $n$ là bội số của $3,$ và âm nếu không. Số đo độ của $\theta$ là $\frac{p}{q},$ trong đó $p$ và $q$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $p + q.$
Tam giác $ABC$ có độ dài các cạnh $AB = 7,$ $BC = 8,$ và $CA = 9.$ Đường tròn $\omega_1$ đi qua $B$ và tiếp tuyến với đường thẳng $AC$ tại $A.$ Đường tròn $\omega_2$ đi qua qua $C$ và tiếp tuyến với đường thẳng $AB$ tại $A.$ Giả sử $K$ là giao điểm của các đường tròn $\omega_1$ và $\omega_2$ không bằng $A.$ Khi đó $AK = \frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$
Với $n \ge 1$ gọi một dãy hữu hạn $(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ gồm các số nguyên dương *lũy tiến* nếu $a_i \lt a_{i+1}$ và $a_i$ chia $a_{i+1}$ cho $1 \le i \le n - 1.$ Tìm số dãy lũy tiến sao cho tổng của các số hạng trong dãy bằng $360.$
Hình bát giác đều $A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8$ nội tiếp trong đường tròn diện tích $1.$ Điểm $P$ nằm bên trong đường tròn sao cho vùng giới hạn bởi $\overline{PA_1},$ $\overline{PA_2},$ và cung nhỏ $\overset{\frown}{A_1A_2}$ của đường tròn có diện tích $\frac{1}{7},$ trong khi vùng được giới hạn bởi $\overline{PA_3},$ $\overline{PA_4},$ và cung nhỏ $\overset{\frown}{A_3A_4}$ của đường tròn có diện tích $\frac{1}{9}.$ Có một số nguyên dương $n$ sao cho diện tích của vùng giới hạn bởi $\overline{PA_6},$ $\overline{PA_7},$ và cung nhỏ $\overset{\frown}{A_6A_7}$ của đường tròn bằng $\frac{1}{8} - \frac{\sqrt{2}}{n}.$ Tìm $n.$
Tìm tổng của tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho, với số lượng tem có mệnh giá không giới hạn $5,$ $n,$ và $n + 1$ xu, $91$ xu là bưu phí lớn nhất không thể hình thành được.
Trong tam giác nhọn $ABC,$ các điểm $P$ và $Q$ lần lượt là chân các đường vuông góc từ $C$ đến $\overline{AB}$ và từ $B$ đến $\overline{AC},$. Đường thẳng $PQ$ cắt đường tròn ngoại tiếp $\triangle ABC$ tại hai điểm phân biệt $X$ và $Y.$ Giả sử $XP = 10,$ $PQ = 25,$ và $QY = 15.$ Giá trị của $AB \cdot AC$ có thể được viết dưới dạng $m\sqrt{n},$ trong đó $m$ và $n$ là số nguyên dương và $n$ không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào. Tìm $m + n.$