Ngân hàng câu hỏi AIME 2020

Tìm số cặp số nguyên dương có thứ tự $(m, n)$ sao cho $m^2 n = 20^{20}.$

Giả sử $P$ là một điểm được chọn ngẫu nhiên đồng nhất bên trong hình vuông đơn vị với các đỉnh tại $(0, 0),$ $(1, 0),$ $(1, 1),$ và $(0, 1).$ xác suất mà độ dốc của đường thẳng được xác định bởi $P$ và điểm $\left(\frac{5}{8}, \frac{3}{8}\right)$ lớn hơn hoặc bằng $\frac{1}{2}$ có thể được viết là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$

Giá trị của $x$ thỏa mãn $\log_{2^x} 3^{20} = \log_{2^{x+3}} 3^{2020}$ có thể được viết là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$

Các tam giác $\triangle ABC$ và $\triangle A'B'C'$ nằm trong mặt phẳng tọa độ với các đỉnh $A(0, 0),$ $B(0, 12),$ $C(16, 0),$ $A'(24, 18),$ $B'(36, 18),$ $C'(24, 2).$ Một góc quay $m$ độ theo chiều kim đồng hồ xung quanh điểm $(x, y),$ trong đó $0 \lt m \lt 180,$ sẽ biến đổi $\triangle ABC$ thành $\triangle A'B'C'.$ Tìm $m + x + y.$

Đối với mỗi số nguyên dương $n,$ đặt $f(n)$ là tổng của các chữ số trong biểu diễn cơ số bốn của $n$ và đặt $g(n)$ là tổng của các chữ số trong biểu diễn cơ số tám của $f(n).$ Ví dụ: $f(2020) = f(133210_4) = 10$ $= 12_8,$ và tổng chữ số của $12_8$ là $3,$ vì vậy $g(2020) = 3.$ Đặt $N$ là giá trị nhỏ nhất của $n$ sao cho biểu diễn mười sáu cơ số của $g(n)$ không thể được biểu thị chỉ bằng các chữ số $0$ đến $9.$ Tìm số dư khi $N$ được chia cho $1000.$

Xác định một chuỗi đệ quy theo $t_1 = 20,$ $t_2 = 21,$ và $$
t_n = \frac{5t_{n-1} + 1}{25t_{n-2}}
$$ cho tất cả $n \ge 3.$ Sau đó $t_{2020}$ có thể được viết là $\frac{p}{q},$ trong đó $p$ và $q$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $p + q.$

Hai hình nón tròn bên phải bằng nhau, mỗi hình nón có bán kính đáy $3$ và chiều cao $8$ có các trục đối xứng cắt nhau vuông góc tại một điểm bên trong hình nón một khoảng $3$ tính từ đáy của mỗi hình nón. Một hình cầu có bán kính $r$ nằm trong cả hai hình nón. Giá trị tối đa có thể có của $r^2$ là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$

Xác định trình tự đệ quy theo $f_1(x) = |x - 1|$ và $f_n(x) = f_{n-1}(|x - n|)$ cho số nguyên $n \gt 1.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của $n$ sao cho tổng các số 0 của $f_n$ vượt quá $500{,}000.$

Trong khi xem một chương trình, Ayako, Billy, Carlos, Dahlia, Ehuang và Frank ngồi theo thứ tự đó trên một hàng sáu chiếc ghế. Trong giờ giải lao, họ vào bếp ăn nhẹ. Khi quay lại, họ ngồi trên sáu chiếc ghế đó sao cho nếu hai người ngồi cạnh nhau trước giờ giải lao thì sau giờ giải lao họ không ngồi cạnh nhau. Tìm số chỗ ngồi mà họ có thể chọn sau giờ giải lao.

Tìm tổng của tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho khi $1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3$ chia cho $n + 5,$ thì số dư là $17.$

Đặt $P(x) = x^2 - 3x - 7,$ và đặt $Q(x)$ và $R(x)$ là hai đa thức bậc hai cũng có hệ số $x^2$ bằng $1.$ David tính từng tổng trong ba tổng $P + Q,$ $P + R,$ và $Q + R$ và ngạc nhiên khi thấy rằng mỗi cặp tổng này có một nghiệm chung và ba nghiệm chung này là khác nhau. Nếu $Q(0) = 2,$ thì $R(0) = \frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$

Đặt $m$ và $n$ là các số nguyên lẻ lớn hơn $1.$ Một hình chữ nhật $m \times n$ được tạo thành từ các ô vuông đơn vị trong đó các ô vuông ở hàng trên cùng được đánh số từ trái sang phải với các số nguyên $1$ đến $n,$ những ô ở hàng thứ hai được đánh số từ trái sang phải bằng các số nguyên $n + 1$ đến $2n,$, v.v. Hình vuông $200$ nằm ở hàng trên cùng và hình vuông $2000$ nằm ở hàng dưới cùng. Tìm số cặp có thứ tự $(m, n)$ gồm các số nguyên lẻ lớn hơn $1$ với tính chất là trong hình chữ nhật $m \times n$, đường thẳng đi qua tâm các hình vuông $200$ và $2000$ cắt phần trong của hình vuông $1099.$

Hình ngũ giác lồi $ABCDE$ có độ dài các cạnh là $AB = 5,$ $BC = CD = DE = 6,$ và $EA = 7.$ Ngoài ra, hình ngũ giác còn có một đường tròn nội tiếp (một đường tròn tiếp xúc với mỗi cạnh của hình ngũ giác). Tìm diện tích của $ABCDE.$

Đối với số thực $x$ đặt $\lfloor x \rfloor$ là số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng $x,$ và xác định $\{x\} = x - \lfloor x \rfloor$ là phần phân số của $x.$ Ví dụ: $\{3\} = 0$ và $\{4.56\} = 0.56.$ Xác định $f(x) = x\{x\},$ và đặt $N$ là số nghiệm có giá trị thực của phương trình $f(f(f(x))) = 17$ của $0 \le x \le 2020.$ Tìm số dư khi $N$ được chia cho $1000.$

Giả sử $\triangle ABC$ là tam giác nhọn có đường tròn ngoại tiếp $\omega.$ Các tiếp tuyến của $\omega$ tại $B$ và $C$ cắt nhau tại $T.$ Giả sử $X$ và $Y$ là hình chiếu của $T$ lên các dòng $AB$ và $AC,$ tương ứng. Giả sử $BT = CT = 16,$ $BC = 22,$ và $TX^2 + TY^2 + XY^2 = 1143.$ Tìm $XY^2.$

Trong $\triangle ABC$ với $AB = AC,$ điểm $D$ nằm hoàn toàn giữa $A$ và $C$ về phía $\overline{AC},$ và điểm $E$ nằm hoàn toàn giữa $A$ và $B$ về phía $\overline{AB}$ sao cho $AE = ED = DB = BC.$ Số đo độ của $\angle ABC$ là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$

Có một số thực dương duy nhất $x$ sao cho ba số $\log_8(2x),$ $\log_4 x,$ và $\log_2 x,$ theo thứ tự đó, tạo thành một cấp số nhân có tỷ số chung dương. Số $x$ có thể được viết là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$

Một số nguyên dương $N$ có biểu diễn cơ số 11 $\underline{a}\,\underline{b}\,\underline{c}$ và biểu diễn cơ số 8 $\underline{1}\,\underline{b}\,\underline{c}\,\underline{a},$ trong đó $a,$ $b,$ và $c$ biểu thị các chữ số (không nhất thiết phải khác biệt). Tìm $N$ nhỏ nhất như vậy được biểu thị trong cơ số mười.

Đặt $S$ là tập hợp các số nguyên dương $N$ với thuộc tính là bốn chữ số cuối của $N$ là $2020,$ và khi loại bỏ bốn chữ số cuối, kết quả là ước của $N.$ Ví dụ: $42{,}020$ nằm trong $S$ vì $4$ là ước của $42{,}020.$ Tìm tổng của tất cả các chữ số của tất cả các số trong $S.$ Ví dụ: số $42{,}020$ đóng góp $4 + 2 + 0 + 2 + 0 = 8$ vào tổng này.

Sáu thẻ được đánh số $1$ đến $6$ sẽ được xếp thành một hàng. Tìm số cách sắp xếp của sáu thẻ này trong đó một trong các thẻ có thể được loại bỏ để lại năm thẻ còn lại theo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần.