Hình vuông $S_1$ bằng $1\times1.$ Với $i\geq1,$ độ dài các cạnh của hình vuông $S_{i+1}$ bằng một nửa độ dài các cạnh của hình vuông $S_i,$ hai cạnh kề của hình vuông $S_i$ là các đường trung trực của hai cạnh kề của hình vuông $S_{i+1},$ và hai cạnh còn lại của hình vuông $S_{i+1}$ là các đường phân giác vuông góc của hai cạnh kề của hình vuông $S_{i+2}.$ Tổng diện tích được bao bọc bởi ít nhất một trong $S_1,$ $S_2,$ $S_3,$ $S_4,$ $S_5$ có thể được viết dưới dạng $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m-n.$
Bắt đầu từ $(0,0),$ một đối tượng di chuyển trong mặt phẳng tọa độ thông qua một chuỗi các bước, mỗi bước có độ dài một. Mỗi bước là trái, phải, lên hoặc xuống, cả bốn bước đều có khả năng như nhau. Đặt $p$ là xác suất mà đối tượng đạt tới $(2,2)$ sau sáu bước trở xuống. Cho rằng $p$ có thể được viết dưới dạng $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau, hãy tìm $m+n.$
Các đường tròn bán kính $3$ và $6$ tiếp xúc ngoài với nhau và tiếp tuyến trong với một đường tròn bán kính $9.$ Đường tròn bán kính $9$ có một dây cung là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn còn lại. Tìm bình phương độ dài của dây cung này.
Đối với các giá trị thực nhất định của $a,$ $b,$ $c,$ và $d,$ phương trình $$
x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0
$$ có bốn nghiệm không thực. Tích của hai nghiệm này là $13+i$ và tổng của hai nghiệm còn lại là $3+4i,$ trong đó $i=\sqrt{-1}.$ Tìm $b.$
Cho rằng $$
(1+\sin t)(1+\cos t)=\frac54
$$ và $$
\begin{aligned}(1-\sin t)&(1-\cos t)\\&=\frac mn-\sqrt k,\end{aligned}
$$ trong đó $k,$ $m,$ và $n$ là các số nguyên dương với $m$ và $n$ nguyên tố cùng nhau, hãy tìm $k+m+n.$
Tam giác $ABC$ là cân, với $AB=AC$ và độ cao $AM=11.$ Giả sử rằng có một điểm $D$ trên $\overline{AM}$ với $AD=10$ và $\angle BDC=3\angle BAC.$ Khi đó chu vi của $\triangle ABC$ có thể được viết dưới dạng $a+\sqrt b,$ trong đó $a$ và $b$ là số nguyên. Tìm $a+b.$
Một lăng trụ đứng hình chữ nhật $P$ (tức là một hình bình hành hình chữ nhật) có các cạnh có chiều dài nguyên $a,$ $b,$ $c,$ với $a\leq b\leq c.$ Một mặt phẳng song song với một trong các mặt của $P$ cắt $P$ thành hai lăng kính, một trong số đó là đồng dạng đến $P,$ và cả hai đều có giá trị khác 0 thể tích. Cho rằng $b=1995,$ với bao nhiêu bộ ba có thứ tự $(a,b,c)$ thì một mặt phẳng như vậy có tồn tại không?
Kim tự tháp $OABCD$ có đáy vuông $ABCD,$ bằng nhau các cạnh $\overline{OA},$ $\overline{OB},$ $\overline{OC},$ và $\overline{OD},$ và $\angle AOB=45^\circ.$ Đặt $\theta$ là số đo của góc nhị diện được tạo bởi các mặt $OAB$ và $OBC.$ Cho rằng $\cos\theta=m+\sqrt n,$ trong đó $m$ và $n$ là số nguyên, hãy tìm $m+n.$
Trong một đường tròn bán kính $42,$ hai dây có độ dài $78$ cắt nhau tại một điểm có khoảng cách từ tâm là $18.$ Hai dây cung chia phần bên trong của đường tròn thành bốn phần. Hai trong số các vùng này được bao quanh bởi các đoạn có độ dài không bằng nhau và diện tích của một trong hai vùng đó có thể được biểu thị duy nhất dưới dạng $m\pi-n\sqrt d,$ trong đó $m,$ $n,$ và $d$ là số nguyên dương và $d$ không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào. Tìm $m+n+d.$
Giả sử $p$ là xác suất mà trong quá trình tung liên tục một đồng xu công bằng, người ta sẽ gặp một loạt mặt ngửa $5$ trước khi gặp một mặt ngửa $2$. Cho rằng $p$ có thể được viết dưới dạng $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau, hãy tìm $m+n.$
