Đặt $S$ là số cặp số nguyên có thứ tự $(a, b),$ với $1 \le a \le 100$ và $b \ge 0,$ sao cho đa thức $x^2 + ax + b$ có thể được phân tích thành tích của hai thừa số tuyến tính (không nhất thiết phải phân biệt) với hệ số nguyên. Tìm số dư khi $S$ được chia cho $1000.$
Số $n$ có thể được viết ở cơ số $14$ là $\underline{a}\,\underline{b}\,\underline{c},$ có thể được viết ở cơ số $15$ là $\underline{a}\,\underline{c}\,\underline{b},$ và có thể được viết ở cơ số $6$ là $\underline{a}\,\underline{c}\,\underline{a}\,\underline{c},$ trong đó $a \gt 0.$ Tìm cơ sở-$10$ biểu diễn của $n.$
Kathy có $5$ thẻ đỏ và $5$ thẻ xanh. Cô xáo trộn các thẻ $10$ và xếp $5$ các thẻ liên tiếp theo thứ tự ngẫu nhiên. Cô ấy sẽ hạnh phúc khi và chỉ khi tất cả các thẻ đỏ được đặt cạnh nhau và tất cả các thẻ xanh được đặt cạnh nhau. Ví dụ: các lệnh đặt thẻ RRGGG, GGGGR hoặc RRRRR sẽ khiến Kathy hài lòng, nhưng RRRGR thì không. xác suất mà Kathy sẽ vui là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$
Trong $\triangle ABC,$ $AB = AC = 10$ và $BC = 12.$ Điểm $D$ nằm hoàn toàn giữa $A$ và $B$ trên $\overline{AB}$ và điểm $E$ nằm hoàn toàn giữa $A$ và $C$ trên $\overline{AC}$ sao cho $AD = DE = EC.$ Khi đó $AD$ có thể được biểu diễn dưới dạng $\frac{p}{q},$ trong đó $p$ và $q$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $p + q.$
Với mỗi cặp số thực có thứ tự $(x, y)$ thỏa mãn $$
\begin{aligned} &\log_2(2x + y) \\ &= \log_4(x^2 + xy + 7y^2), \end{aligned}
$$ tồn tại một số thực $K$ sao cho $$
\begin{aligned} &\log_3(3x + y) \\ &= \log_9(3x^2 + 4xy + Ky^2). \end{aligned}
$$ Tìm tích của tất cả các giá trị có thể có của $K.$
Một lăng trụ lục giác bên phải có chiều cao $2.$ Các đáy là các hình lục giác đều có chiều dài cạnh $1.$ Bất kỳ $3$ nào của $12$ đỉnh đều xác định được một tam giác. Tìm số các tam giác cân này (kể cả các tam giác đều).
Đặt $ABCDEF$ là một hình lục giác đều sao cho $AB = 6,$ $BC = 8,$ $CD = 10,$ và $DE = 12.$ Biểu thị bằng $d$ đường kính của hình tròn lớn nhất vừa với bên trong hình lục giác. Tìm $d^2.$
Tìm số tập hợp con bốn phần tử của $\{1, 2, 3, 4, \ldots, 20\}$ với đặc tính là hai phần tử riêng biệt của tập hợp con có tổng là $16,$ và hai phần tử riêng biệt của tập hợp con có tổng là $24.$ Ví dụ: $\{3, 5, 13, 19\}$ và $\{6, 10, 20, 18\}$ là hai tập hợp con như vậy.
Bánh xe hiển thị bên dưới bao gồm hai vòng tròn và năm nan hoa, có nhãn tại mỗi điểm mà nan hoa gặp vòng tròn. Một lỗi đi dọc theo bánh xe, bắt đầu từ điểm $A.$ Tại mỗi bước của quy trình, lỗi đi từ một điểm được gắn nhãn đến một điểm được gắn nhãn liền kề. Dọc theo vòng tròn bên trong, con bọ chỉ đi theo hướng ngược chiều kim đồng hồ và dọc theo vòng tròn bên ngoài, con bọ chỉ đi theo hướng theo chiều kim đồng hồ. Ví dụ: lỗi có thể di chuyển dọc theo đường dẫn $AJABCHCHIJA,$ có các bước $10$. Đặt $n$ là số đường dẫn có $15$ bước bắt đầu và kết thúc tại điểm $A.$ Tìm số dư khi $n$ được chia cho $1000.$
Đối với mỗi tập hợp con $T$ của $U = \{1, 2, 3, \ldots, 18\},$ đặt $s(T)$ là tổng các phần tử của $T,$ với $s(\emptyset)$ được xác định là $0.$ Nếu $T$ được chọn ngẫu nhiên trong số tất cả các tập hợp con của $U,$ thì xác suất rằng $s(T)$ là chia hết cho $3$ là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m.$
Cho $\triangle ABC$ có độ dài các cạnh $AB = 30,$ $BC = 32,$ và $AC = 34.$ Điểm $X$ nằm bên trong $\overline{BC},$ và các điểm $I_1$ và $I_2$ là tâm của $\triangle ABX$ và $\triangle ACX,$ tương ứng. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể có diện tích của $\triangle AI_1I_2$ vì $X$ thay đổi dọc theo $\overline{BC}.$
Cho $SP_1P_2P_3EP_4P_5$ là hình bảy cạnh. Một con ếch bắt đầu nhảy ở đỉnh $S.$ Từ bất kỳ đỉnh nào của hình bảy cạnh ngoại trừ $E,$ con ếch có thể nhảy đến một trong hai đỉnh liền kề. Khi đến đỉnh $E,$ con ếch dừng lại và ở lại đó. Tìm số chuỗi bước nhảy riêng biệt không quá $12$ bước nhảy kết thúc tại $E.$
David đã tìm thấy bốn que có độ dài khác nhau có thể được sử dụng để tạo thành ba hình tứ giác nội tiếp không bằng nhau, $A,$ $B,$ và $C,$ mà mỗi hình này có thể nội tiếp trong một đường tròn có bán kính $1.$ Đặt $\varphi_A$ biểu thị số đo của góc nhọn tạo bởi đường chéo của tứ giác $A,$ và xác định $\varphi_B$ và $\varphi_C$ tương tự. Giả sử rằng $\sin\varphi_A = \frac{2}{3},$ $\sin\varphi_B = \frac{3}{5},$ và $\sin\varphi_C = \frac{6}{7}.$ Cả ba tứ giác đều có cùng diện tích $K,$ có thể được viết dưới dạng $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$
