Ban đầu Alex, Betty và Charlie có tổng cộng $444$ đậu phộng. Charlie có nhiều đậu phộng nhất và Alex có ít nhất. Ba số đậu phộng mà mỗi người có được tạo thành một cấp số nhân. Alex ăn $5$ đậu phộng của anh ấy, Betty ăn $9$ đậu phộng của cô ấy và Charlie ăn $25$ đậu phộng của anh ấy. Bây giờ ba số đậu phộng mà mỗi người có được tạo thành một cấp số cộng. Tìm số hạt đậu mà Alex có lúc đầu.
Có $40\%$ khả năng mưa vào Thứ Bảy và $30\%$ khả năng mưa vào Chủ Nhật. Tuy nhiên, khả năng mưa vào Chủ Nhật nếu trời mưa vào Thứ Bảy sẽ cao gấp đôi so với nếu trời không mưa vào Thứ Bảy. xác suất trời mưa ít nhất một ngày cuối tuần này là $\frac{a}{b},$ trong đó $a$ và $b$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $a + b.$
Một hộp hình chữ nhật $a \times b \times c$ được xây dựng từ các khối đơn vị $a \cdot b \cdot c$. Mỗi khối đơn vị có màu đỏ, xanh lá cây hoặc vàng. Mỗi lớp $a$ có kích thước $1 \times b \times c$ song song với các mặt $(b \times c)$ của hộp chứa chính xác $9$ khối màu đỏ, chính xác là $12$ khối màu xanh lá cây và một số khối màu vàng. Mỗi lớp $b$ có kích thước $a \times 1 \times c$ song song với các mặt $(a \times c)$ của hộp chứa chính xác $20$ khối màu xanh lá cây, chính xác là $25$ khối màu vàng và một số khối màu đỏ. Tìm thể tích nhỏ nhất có thể của hộp.
Tam giác $ABC_0$ có một góc vuông tại $C_0.$ Độ dài các cạnh của nó là các số nguyên dương nguyên tố từng cặp và chu vi của nó là $p.$ Giả sử $C_1$ là chân của đường cao tới $\overline{AB},$ và với $n \ge 2,$ giả sử $C_n$ là chân độ cao tới $\overline{C_{n-2}B}$ trong $\triangle C_{n-2}C_{n-1}B.$ Tổng $\sum_{n=1}^{\infty} C_{n-1}C_n = 6p.$ Tìm $p.$
Đối với đa thức $P(x) = 1 - \frac{1}{3}x + \frac{1}{6}x^2,$ xác định $$
\begin{aligned} Q(x) &= P(x)P(x^3)P(x^5) \\ &\quad {}\cdot P(x^7)P(x^9) \\ &= \sum_{i=0}^{50} a_i x^i. \end{aligned}
$$ Sau đó $\sum_{i=0}^{50} |a_i| = \frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$
Các hình vuông $ABCD$ và $EFGH$ có một tâm chung và $\overline{AB} \parallel \overline{EF}.$ diện tích của $ABCD$ là $2016,$ và diện tích của $EFGH$ là số nguyên dương nhỏ hơn. Hình vuông $IJKL$ được xây dựng sao cho mỗi đỉnh của nó nằm trên một cạnh của $ABCD$ và mỗi đỉnh của $EFGH$ nằm trên một cạnh của $IJKL.$ Tìm sự khác biệt giữa các giá trị nguyên lớn nhất và nhỏ nhất có thể có của diện tích của $IJKL.$
Tìm số tập hợp $\{a, b, c\}$ của ba số nguyên dương phân biệt có tính chất là tích của $a,$ $b,$ và $c$ bằng tích của $11,$ $21,$ $31,$ $41,$ $51,$ và $61.$
Dãy số nguyên dương $1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots$ và $1,$ $b_2,$ $b_3,$ $\ldots$ là một cấp số cộng tăng dần và tăng dần cấp số nhân, tương ứng. Cho $c_n = a_n + b_n.$ Có một số nguyên $k$ sao cho $c_{k-1} = 100$ và $c_{k+1} = 1000.$ Tìm $c_k.$
Tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $\omega.$ Các điểm $P$ và $Q$ nằm về phía $\overline{AB}$ với $AP \lt AQ.$ Tia $CP$ và $CQ$ gặp lại $\omega$ tại $S$ và $T$ (trừ $C$), tương ứng. Nếu $AP = 4,$ $PQ = 3,$ $QB = 6,$ $BT = 5,$ và $AS = 7,$ thì $ST = \frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$
Đối với số nguyên dương $N$ và $k,$ hãy xác định $N$ là *$k$-nice* nếu tồn tại số nguyên dương $a$ sao cho $a^k$ có chính xác $N$ ước số dương. Tìm số số nguyên dương nhỏ hơn $1000$ không $7$-đẹp cũng như không $8$-đẹp.
Hình dưới đây cho thấy một chiếc nhẫn được làm từ sáu phần nhỏ mà bạn sẽ sơn lên tường. Bạn có sẵn bốn màu sơn và sẽ sơn mỗi phần trong số sáu phần một màu đồng nhất. Tìm số cách bạn có thể chọn để sơn các phần nếu không thể sơn hai phần liền kề cùng màu.
Beatrix sẽ đặt sáu quân xe trên bàn cờ $6 \times 6$ trong đó cả hàng và cột đều được gắn nhãn $1$ đến $6;$ các quân xe được đặt sao cho không có hai quân xe nào ở cùng một hàng hoặc cùng một cột. *giá trị* của một hình vuông là tổng số hàng và số cột của nó. *Điểm* của việc sắp xếp quân xe là giá trị nhỏ nhất của bất kỳ ô nào đã chiếm. Điểm trung bình trên tất cả các cấu hình hợp lệ là $\frac{p}{q},$ trong đó $p$ và $q$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $p + q.$
Các cạnh đều $\triangle ABC$ có độ dài cạnh $600.$ Các điểm $P$ và $Q$ nằm bên ngoài mặt phẳng của $\triangle ABC$ và nằm ở hai phía đối diện của mặt phẳng. Hơn nữa, $PA = PB = PC,$ và $QA = QB = QC,$ và các mặt phẳng của $\triangle PAB$ và $\triangle QAB$ tạo thành một góc nhị diện $120^\circ$ (góc giữa hai mặt phẳng). Có một điểm $O$ có khoảng cách từ mỗi $A,$ $B,$ $C,$ $P,$ và $Q$ là $d.$ Tìm $d.$
Với $1 \le i \le 215$ đặt $a_i = \frac{1}{2^i}$ và $a_{216} = \frac{1}{2^{215}}.$ Đặt $x_1,$ $x_2,$ $\ldots,$ $x_{216}$ là các số thực dương sao cho $$
\sum_{i=1}^{216} x_i = 1
$$ và $$
\begin{aligned} &\sum_{1 \le i \lt j \le 216} x_i x_j \\ &= \frac{107}{215} \\ &\quad {}+ \sum_{i=1}^{216} \frac{a_i x_i^2}{2(1 - a_i)}. \end{aligned}
$$ Giá trị tối đa có thể có của $x_2 = \frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$
Với $-1 \lt r \lt 1,$ đặt $S(r)$ biểu thị tổng của chuỗi hình học $$
12 + 12r + 12r^2 + 12r^3 + \cdots.
$$ Đặt $a$ giữa $-1$ và $1$ thỏa mãn $S(a)S(-a) = 2016.$ Tìm $S(a) + S(-a).$
Hai viên xúc xắc dường như là xúc xắc tiêu chuẩn với các mặt được đánh số từ $1$ đến $6,$ nhưng mỗi xúc xắc có trọng số sao cho xác suất của việc tung số $k$ tỷ lệ thuận với $k.$ xác suất của việc tung một $7$ với cặp này xúc xắc là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$
*Khối hai mươi mặt đều* là một khối có mặt $20$ trong đó mỗi mặt là một tam giác đều và năm hình tam giác gặp nhau ở mỗi đỉnh. Khối hai mươi mặt đều được hiển thị bên dưới có một đỉnh ở trên, một đỉnh ở dưới, một hình ngũ giác phía trên gồm năm đỉnh, tất cả đều liền kề với đỉnh trên và tất cả đều nằm trong cùng một mặt phẳng ngang, và một hình ngũ giác phía dưới gồm năm đỉnh, tất cả đều liền kề với đỉnh dưới và tất cả đều nằm trong một mặt phẳng ngang khác. Tìm số đường đi từ đỉnh trên đến đỉnh dưới sao cho mỗi phần của đường đi đi xuống hoặc nằm ngang dọc theo một cạnh của khối hai mươi mặt và không có đỉnh nào lặp lại.
Một lăng trụ đứng có chiều cao $h$ có đáy là các hình lục giác đều có cạnh dài $12.$ Một đỉnh $A$ của lăng kính và ba đỉnh liền kề của nó là các đỉnh của một hình chóp tam giác. Góc nhị diện (góc giữa hai mặt phẳng) được tạo bởi mặt của hình chóp nằm trong đáy lăng kính và mặt của hình chóp không chứa $A$ có số đo $60^\circ.$ Tìm $h^2.$
Anh đọc sách. Vào ngày đầu tiên, cô ấy đọc $n$ trang trong $t$ phút, trong đó $n$ và $t$ là số nguyên dương. Vào ngày thứ hai Anh đọc trang $n + 1$ trong $t + 1$ phút. Mỗi ngày sau đó, Ánh đọc nhiều hơn ngày hôm trước một trang và em phải mất thêm một phút so với ngày hôm trước để đọc hết trang $374$. Cô ấy đã mất tổng cộng $319$ phút để đọc cuốn sách. Tìm $n + t.$
