Ngân hàng câu hỏi APMO

Tìm tất cả các bộ bốn số nguyên dương $(a,p,m,o)$ với $o\ge2$ sao cho
$$a!+p!=m^o+26.$$

Cho số nguyên $n\ge2$. Gọi $A_1,A_2,\ldots,A_{2^n}$ là tất cả $2^n$ tập con của một tập có $n$ phần tử, sắp theo một thứ tự nào đó. Chứng minh
$$|A_1\cap A_2|+|A_2\cap A_3|+\cdots+|A_{2^n-1}\cap A_{2^n}|+|A_{2^n}\cap A_1|\ge2^{n-2}.$$

Ký hiệu $\mathbb R_+$ là tập số thực dương. Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb R_+\to\mathbb R$ sao cho với mọi $x,y,z\in\mathbb R_+$, bất đẳng thức
$$|x-y|\lt |y-z|$$
đúng khi và chỉ khi
$$|f(x)-f(y)|\lt |f(y)-f(z)|.$$

Cho tứ giác $ABCD$ có đường tròn nội tiếp $\omega$ tâm $I$. Hai đường chéo $AC,BD$ cắt nhau tại $E$. Gọi $J$ là tâm nội tiếp tam giác $ABD$. Tia $EJ$ kéo dài cắt $\omega$ tại $P$. Chứng minh $PI\perp BD$.

Hình cấu hình do AI dựng chỉ dùng các điểm đã cho:

Cho số nguyên dương $n$. Có $n(n+1)$ phòng xếp thành lưới $(n+1)\times n$. Mỗi cặp phòng kề nhau có một cửa nối. Tìm số cách chọn một tập con các cửa để khóa sao cho tồn tại hai phòng $S,G$ thỏa:
1. $S$ ở hàng đầu, $G$ ở hàng thứ $n+1$.
2. Có thể đi từ $S$ đến $G$ chỉ qua các cửa không khóa.

Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $\Gamma$. Gọi $A_1$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $BC$, nên $AA_1$ là đường cao. Gọi $B_1,C_1$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A_1$ lên $AB,AC$. Điểm $P$ sao cho tứ giác $AB_1PC_1$ lồi và có diện tích bằng tam giác $ABC$. Có thể có $P$ nằm hẳn bên trong $\Gamma$ hay không? Giải thích câu trả lời.

Hình AI dựng tam giác và các hình chiếu đã cho:

Cho các số thực dương $\alpha,\beta$. Emerald đi trong mặt phẳng tọa độ, xuất phát từ $(0,0)$. Mỗi phút cô đi lên một đơn vị hoặc sang phải một đơn vị, luôn ở trong miền $|x-y|\lt 2025$. Khi đến $(x,y)$, cô ghi số nguyên $\lfloor x\alpha+y\beta\rfloor$ tại đó. Cô đã ghi mỗi số nguyên không âm đúng một lần. Tìm tất cả các cặp $(\alpha,\beta)$ có thể thực hiện chuyến đi như vậy.

Cho đa thức không hằng $P(x)$ có hệ số nguyên và $P(0)\ne0$. Cho dãy vô hạn các số nguyên $a_1,a_2,a_3,\ldots$ sao cho $P(i-j)$ chia hết $a_i-a_j$ với mọi số nguyên dương phân biệt $i,j$. Chứng minh dãy là hằng.

Cho số nguyên $n\ge3$. Có $n$ ô trên một đường tròn, mỗi ô được gán $0$ hoặc $1$. Một con gà trống đứng trên một ô và lặp lại các thao tác:
- Nếu ô đang đứng mang số $0$, đổi thành $1$ rồi đi đến ô kế tiếp ngược chiều kim đồng hồ.
- Nếu ô đang đứng mang số $1$, đổi thành $0$ rồi đi đến ô cách hai bước ngược chiều kim đồng hồ.

Chứng minh sau đủ nhiều thao tác, mệnh đề sau luôn đúng: nếu gà đứng tại ô $C$, nó sẽ đi quanh vòng tròn đúng ba vòng rồi lại dừng tại $C$, đồng thời mọi ô mang số như ngay trước ba vòng đó.

Xét dãy vô hạn các số nguyên dương $a_1,a_2,\ldots$ sao cho
$$100!\,(a_m+a_{m+1}+\cdots+a_n)$$
là bội của $a_{n-m+1}a_{n+m}$ với mọi số nguyên dương $m\le n$. Chứng minh dãy hoặc bị chặn, hoặc tuyến tính.

Dãy bị chặn nếu tồn tại hằng số $N$ sao cho $a_n\lt N$ với mọi số nguyên dương $n$. Dãy tuyến tính nếu $a_n=n\,a_1$ với mọi số nguyên dương $n$.

Cho tam giác nhọn $ABC$. Điểm $D$ thuộc cạnh $AB$, điểm $E$ thuộc cạnh $AC$ sao cho $BC\parallel DE$. Điểm $X$ nằm trong tứ giác $BCED$. Các tia $DX$, $EX$ lần lượt cắt cạnh $BC$ tại $P,Q$, đều nằm giữa $B,C$. Hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác $BQX$ và $CPX$ cắt nhau tại $Y\ne X$. Chứng minh $A,X,Y$ thẳng hàng.

Hình cấu hình do AI dựng:

Xét bảng $100\times100$, ô ở hàng $a$, cột $b$ được ký hiệu $(a,b)$, với $1\le a,b\le100$. Cho số nguyên $51\le k\le99$. Quân mã-$k$ đi một ô theo phương dọc hoặc ngang và $k$ ô theo phương còn lại: từ $(a,b)$ tới $(c,d)$ với $(|a-c|,|b-d|)$ bằng $(1,k)$ hoặc $(k,1)$. Nó xuất phát từ $(1,1)$ và thực hiện một số nước đi. Một dãy nước đi là dãy $(x_0,y_0)=(1,1),(x_1,y_1),\ldots,(x_n,y_n)$ sao cho mọi ô nằm trong bảng và mỗi cặp liên tiếp là một nước hợp lệ. Mỗi ô được đi đến gọi là đạt được. Với mỗi $k$, tìm số ô đạt được $L(k)$.

Cho số nguyên dương $n$ và các số thực dương $a_1,a_2,\ldots,a_n$. Chứng minh
$$\sum_{i=1}^n\frac1{2^i}\left(\frac2{1+a_i}\right)^{2^i}\ge\frac2{1+a_1a_2\cdots a_n}-\frac1{2^n}.$$

Chứng minh với mỗi số nguyên dương $t$, tồn tại duy nhất một hoán vị $a_0,a_1,\ldots,a_{t-1}$ của $0,1,\ldots,t-1$ sao cho với mọi $0\le i\le t-1$, hệ số nhị thức
$$\binom{t+i}{2a_i}$$
là số lẻ và $2a_i\ne t+i$.

Đường thẳng $\ell$ cắt các cạnh $BC,AD$ của tứ giác nội tiếp $ABCD$ tại các điểm trong $R,S$ tương ứng, cắt tia $DC$ ở phía ngoài $C$ tại $Q$, và cắt tia $BA$ ở phía ngoài $A$ tại $P$. Các đường tròn ngoại tiếp $QCR,QDS$ cắt nhau tại $N\ne Q$; các đường tròn ngoại tiếp $PAS,PBR$ cắt nhau tại $M\ne P$. Gọi $X=MP\cap NQ$, $K=AB\cap CD$, $L=BC\cap AD$. Chứng minh $X$ thuộc $KL$.

Hình cấu hình do AI dựng (không vẽ thêm đường $KL$):

Cho số nguyên $n\ge5$. Xét $n$ hình vuông có độ dài cạnh lần lượt là $1,2,\ldots,n$. Các hình vuông được xếp trong mặt phẳng, các cạnh song song với trục $x$ và trục $y$. Giả sử hai hình vuông bất kỳ không tiếp xúc nhau, ngoại trừ có thể tại các đỉnh.

Chứng minh có thể xếp các hình vuông sao cho mỗi hình vuông tiếp xúc với đúng hai hình vuông khác.

Hình AI minh họa các hình vuông ban đầu khi $n=5$, chưa thực hiện cách xếp cần tìm:

Tìm tất cả các số nguyên $n\ge2$ thỏa mãn
$$\frac{\sigma(n)}{p(n)-1}=n,$$
trong đó $\sigma(n)$ là tổng tất cả các ước dương của $n$, còn $p(n)$ là ước nguyên tố lớn nhất của $n$.

Cho hình bình hành $ABCD$. Các điểm $W,X,Y,Z$ lần lượt thuộc các cạnh $AB,BC,CD,DA$, sao cho tâm các đường tròn nội tiếp của bốn tam giác $AWZ,BXW,CYX,DZY$ tạo thành một hình bình hành. Chứng minh $WXYZ$ là hình bình hành.

Hình cấu hình do AI dựng:

Cho số thực dương $c\gt 0$, và ký hiệu $\mathbb R_{\gt 0}$ là tập các số thực dương. Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb R_{\gt 0}\to\mathbb R_{\gt 0}$ thỏa mãn
$$f((c+1)x+f(y))=f(x+2y)+2cx$$
với mọi $x,y\in\mathbb R_{\gt 0}$.

Trong mặt phẳng có $n$ đoạn thẳng, không có ba đoạn cùng đi qua một điểm, và mỗi cặp cắt nhau tại một điểm nằm trong phần trong của cả hai đoạn. Tony và $2n-1$ người bạn mỗi người đứng tại một đầu mút khác nhau. Tony muốn gửi quà Giáng sinh cho bạn theo cách sau.

Trước hết, Tony chọn một đầu mút của mỗi đoạn làm “đích”. Sau đó đặt món quà tại đầu mút nơi mình đứng. Món quà di chuyển theo quy tắc:
- Khi ở trên một đoạn thẳng, quà đi về phía đích của đoạn đó.
- Khi đến giao điểm của hai đoạn, quà đổi sang đoạn kia rồi đi về phía đích mới.

Nếu quà đến một đầu mút thì người bạn đứng đó nhận được quà. Chứng minh Tony có thể gửi quà đến đúng $n$ trong số $2n-1$ người bạn.

Ví dụ AI dựng về các đoạn ban đầu, chưa chọn các đích: