Câu hỏi 1
Cho tam giác nhọn $ABC$ với các đường cao $AD,BE,CF$, và gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp. Chứng minh các đoạn $OA,OF,OB,OD,OC,OE$ chia $ABC$ thành ba cặp tam giác có diện tích bằng nhau.
Hình dựng bổ sung:
Hình dựng bổ sung:
APMO 2013 - Olympic Toán châu Á - Thái Bình Dương
Câu hỏi 2
Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $\frac{n^2+1}{\lfloor\sqrt n\rfloor^2+2}$ là số nguyên. Ký hiệu $\lfloor r\rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $r$.
Câu hỏi 3
Với các số thực $a_1,\ldots,a_k,b_1,\ldots,b_k$, định nghĩa
$$X_n=\sum_{i=1}^k\lfloor a_i n+b_i\rfloor\qquad(n=1,2,\ldots).$$
Nếu $(X_n)$ là một cấp số cộng, chứng minh $\sum_{i=1}^k a_i$ là số nguyên. Ký hiệu $\lfloor r\rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $r$.
$$X_n=\sum_{i=1}^k\lfloor a_i n+b_i\rfloor\qquad(n=1,2,\ldots).$$
Nếu $(X_n)$ là một cấp số cộng, chứng minh $\sum_{i=1}^k a_i$ là số nguyên. Ký hiệu $\lfloor r\rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $r$.
Câu hỏi 4
Cho các số nguyên dương $a,b$ và các tập hữu hạn số nguyên $A,B$ thỏa mãn:
(i) $A,B$ rời nhau;
(ii) nếu $i\in A\cup B$ thì $i+a\in A$ hoặc $i-b\in B$.
Chứng minh $a|A|=b|B|$, trong đó $|X|$ là số phần tử của $X$.
(i) $A,B$ rời nhau;
(ii) nếu $i\in A\cup B$ thì $i+a\in A$ hoặc $i-b\in B$.
Chứng minh $a|A|=b|B|$, trong đó $|X|$ là số phần tử của $X$.
Câu hỏi 5
Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $\omega$, và điểm $P$ trên phần kéo dài của $AC$ sao cho $PB,PD$ tiếp xúc với $\omega$. Tiếp tuyến tại $C$ cắt $PD$ tại $Q$ và đường thẳng $AD$ tại $R$. Gọi $E$ là giao điểm thứ hai của $AQ$ với $\omega$. Chứng minh $B,E,R$ thẳng hàng.
Hình dựng bổ sung:
Hình dựng bổ sung: