Gọi một bộ 5 số nguyên là sắp xếp được nếu có thể đặt tên các số là $a,b,c,d,e$ theo một thứ tự nào đó để $a-b+c-d+e=29$. Tìm tất cả các bộ 2017 số nguyên $n_1,\ldots,n_{2017}$ sao cho khi đặt theo chiều kim đồng hồ quanh một vòng tròn, mọi năm vị trí liên tiếp tạo thành một bộ 5 sắp xếp được.
Cho tam giác $ABC$ với $AB\lt AC$. Gọi $D$ là giao điểm thứ hai của phân giác trong góc $BAC$ với đường tròn ngoại tiếp $ABC$. Gọi $Z$ là giao điểm của đường trung trực $AC$ với phân giác ngoài góc $BAC$. Chứng minh trung điểm $AB$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp $ADZ$.
Gọi $A(n)$ là số dãy số nguyên dương $a_1\ge\cdots\ge a_k$ có tổng $n$ và mỗi $a_i+1$ là lũy thừa của 2. Gọi $B(n)$ là số dãy số nguyên dương $b_1\ge\cdots\ge b_m$ có tổng $n$ sao cho $b_j\ge2b_{j+1}$ với $1\le j\lt m$. Chứng minh $A(n)=B(n)$ với mọi số nguyên dương $n$.
Đề xuất bởi Ban bài toán cấp cao của Ủy ban Olympic Toán Australia.
Gọi số hữu tỉ $r$ là mạnh nếu $r=p^k/q$ với các số nguyên dương $p,q$ nguyên tố cùng nhau và số nguyên $k\gt 1$. Cho các số hữu tỉ dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc=1$. Giả sử tồn tại các số nguyên dương $x,y,z$ sao cho $a^x+b^y+c^z$ là số nguyên. Chứng minh $a,b,c$ đều mạnh.
Cho số nguyên dương $n$. Gọi hai bộ $n$ số nguyên $(a_1,\ldots,a_n)$ và $(b_1,\ldots,b_n)$ là một cặp tinh tế nếu
$$|a_1b_1+\cdots+a_nb_n|\le1.$$
Tìm số lượng lớn nhất các bộ $n$ số nguyên phân biệt sao cho mọi hai bộ phân biệt trong đó tạo thành một cặp tinh tế.
Đề xuất bởi Pakawut Jiradilok và Warut Suksompong, Thái Lan.
