Xét phép biến đổi sau trên các số thực dương viết trên bảng: Chọn một số $r$ trên bảng, xóa số đó rồi viết hai số thực dương $a,b$ thỏa mãn $2r^2=ab$ lên bảng.
Giả sử ban đầu trên bảng chỉ có một số thực dương $r$. Thực hiện phép biến đổi $k^2-1$ lần để cuối cùng có $k^2$ số thực dương, không nhất thiết phân biệt. Chứng minh rằng trên bảng có một số không vượt quá $kr$.
Cho các số thực $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ thỏa mãn
$$\frac{a_1}{k^2+1}+\frac{a_2}{k^2+2}+\frac{a_3}{k^2+3}+\frac{a_4}{k^2+4}+\frac{a_5}{k^2+5}=\frac1{k^2}$$
với $k=1,2,3,4,5$. Tính $\frac{a_1}{37}+\frac{a_2}{38}+\frac{a_3}{39}+\frac{a_4}{40}+\frac{a_5}{41}$ và viết kết quả dưới dạng một phân số.
Cho ba đường tròn $\Gamma_1,\Gamma_2,\Gamma_3$ trong mặt phẳng không chồng lấn và đôi một nằm ngoài nhau. Với mỗi điểm $P$ nằm ngoài cả ba đường tròn, dựng sáu điểm $A_1,B_1,A_2,B_2,A_3,B_3$ như sau: với mỗi $i=1,2,3$, $A_i,B_i$ là hai điểm phân biệt trên $\Gamma_i$ sao cho $PA_i,PB_i$ đều là tiếp tuyến của $\Gamma_i$. Gọi $P$ là điểm đặc biệt nếu ba đường thẳng $A_1B_1,A_2B_2,A_3B_3$ đồng quy. Chứng minh rằng tất cả các điểm đặc biệt trong mặt phẳng, nếu có, cùng nằm trên một đường tròn.
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $k$, tồn tại một cấp số cộng gồm các số hữu tỉ $a_1/b_1,a_2/b_2,\ldots,a_k/b_k$, trong đó $a_i,b_i$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau với mỗi $i=1,2,\ldots,k$, sao cho tất cả các số $a_1,b_1,a_2,b_2,\ldots,a_k,b_k$ đôi một phân biệt.
Larry và Rob là hai rô-bốt cùng đi trên một chiếc xe từ Argovia đến Zillis. Cả hai đều điều khiển tay lái theo quy tắc sau: Larry rẽ trái $90^\circ$ sau mỗi $\ell$ kilômét tính từ lúc xuất phát; Rob rẽ phải $90^\circ$ sau mỗi $r$ kilômét tính từ lúc xuất phát, trong đó $\ell,r$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Nếu hai lần rẽ xảy ra đồng thời thì xe tiếp tục đi thẳng. Giả sử mặt đất phẳng và xe có thể đi theo mọi hướng.
Xe xuất phát từ Argovia, hướng về Zillis. Với những cặp $(\ell,r)$ nào, xe chắc chắn đến được Zillis dù khoảng cách từ Argovia đến Zillis là bao nhiêu?
