Cho các số thực $a,b,c,d,e,f$ sao cho đa thức
$$p(x)=x^8-4x^7+7x^6+ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f$$
phân tích được thành tám nhân tử bậc nhất $x-x_i$, với $x_i\gt 0$ với mọi $i=1,2,\ldots,8$. Tìm tất cả các giá trị có thể có của $f$.
Cho miếng bìa hình vuông $ABCD$ cạnh $a$. Trên mặt phẳng có hai đường thẳng song song $\ell_1,\ell_2$ cách nhau $a$. Đặt hình vuông sao cho các cạnh $AB,AD$ lần lượt cắt $\ell_1$ tại $E,F$, còn các cạnh $CB,CD$ lần lượt cắt $\ell_2$ tại $G,H$. Gọi chu vi của $\triangle AEF$ và $\triangle CGH$ lần lượt là $m_1,m_2$. Chứng minh rằng $m_1+m_2$ không đổi dù hình vuông được đặt như thế nào.
Cho số nguyên $k\ge14$ và gọi $p_k$ là số nguyên tố lớn nhất nhỏ hơn $k$. Được phép sử dụng $p_k\ge3k/4$. Cho $n$ là một hợp số. Chứng minh:
(a) Nếu $n=2p_k$ thì $(n-k)!$ không chia hết cho $n$;
(b) Nếu $n\gt 2p_k$ thì $(n-k)!$ chia hết cho $n$.
Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác, $a+b+c=1$, và $n\ge2$ là số nguyên. Chứng minh
$$\sqrt[n]{a^n+b^n}+\sqrt[n]{b^n+c^n}+\sqrt[n]{c^n+a^n}\lt 1+\frac{\sqrt[n]{2}}2.$$
Cho hai số nguyên dương $m,n$. Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $k$ sao cho trong bất kỳ nhóm $k$ người nào, hoặc có $2m$ người lập thành $m$ cặp quen nhau, hoặc có $2n$ người lập thành $n$ cặp không quen nhau. Các cặp trong mỗi trường hợp phải đôi một không có người chung.
