APMO 2007 - Olympic Toán châu Á - Thái Bình Dương

Cho tập $S$ gồm 9 số nguyên phân biệt mà mọi ước nguyên tố của chúng đều không vượt quá 3. Chứng minh $S$ có 3 số nguyên phân biệt với tích là một số lập phương.

Cho tam giác nhọn $ABC$ có $\angle BAC=60^\circ$, $AB\gt AC$. Gọi $I$ là tâm nội tiếp và $H$ là trực tâm. Chứng minh
$$2\angle AHI=3\angle ABC.$$

Xét $n$ hình tròn $C_1,C_2,\ldots,C_n$ trên mặt phẳng sao cho với $1\le i\lt n$, tâm $C_i$ nằm trên đường tròn biên của $C_{i+1}$, còn tâm $C_n$ nằm trên đường tròn biên của $C_1$. Điểm số của cấu hình là số cặp $(i,j)$ mà $C_i$ chứa thực sự $C_j$. Tìm điểm số lớn nhất có thể.

Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $\sqrt x+\sqrt y+\sqrt z=1$. Chứng minh
$$\frac{x^2+yz}{\sqrt{2x^2(y+z)}}+\frac{y^2+zx}{\sqrt{2y^2(z+x)}}+\frac{z^2+xy}{\sqrt{2z^2(x+y)}}\ge1.$$

Một bảng đèn hình vuông $5\times5$ bị lỗi: bấm công tắc của một đèn làm chính đèn đó cùng các đèn kề ngay trong cùng hàng hoặc cùng cột đổi trạng thái, từ sáng sang tắt hoặc từ tắt sang sáng. Ban đầu mọi đèn đều tắt. Sau một số lần bấm, có đúng một đèn sáng. Tìm tất cả vị trí có thể của đèn này.