Ngân hàng câu hỏi APMO 1999

Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $n$ có tính chất: không tồn tại cấp số cộng gồm 1999 số thực mà có đúng $n$ số nguyên.

Cho dãy số thực $a_1,a_2,\ldots$ thỏa mãn $a_{i+j}\le a_i+a_j$ với mọi số nguyên dương $i,j$. Chứng minh
$$a_1+\frac{a_2}{2}+\frac{a_3}{3}+\cdots+\frac{a_n}{n}\ge a_n$$
với mọi số nguyên dương $n$.

Hai đường tròn $\Gamma_1,\Gamma_2$ cắt nhau tại $P,Q$. Tiếp tuyến chung gần $P$ hơn tiếp xúc $\Gamma_1$ tại $A$, $\Gamma_2$ tại $B$. Tiếp tuyến của $\Gamma_1$ tại $P$ cắt lại $\Gamma_2$ tại $C\ne P$, và phần kéo dài của $AP$ cắt $BC$ tại $R$. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp $PQR$ tiếp xúc $BP$ và $BR$.

Tìm tất cả các cặp số nguyên $(a,b)$ sao cho cả $a^2+4b$ và $b^2+4a$ đều là số chính phương.

Cho tập $S$ gồm $2n+1$ điểm trên mặt phẳng, không có ba điểm thẳng hàng và không có bốn điểm đồng viên. Một đường tròn gọi là tốt nếu có 3 điểm của $S$ trên biên, $n-1$ điểm bên trong và $n-1$ điểm bên ngoài. Chứng minh số đường tròn tốt có cùng tính chẵn lẻ với $n$.