Cho tam giác có ba cạnh $a,b,c$ và nửa chu vi $s=(a+b+c)/2$. Dựng tam giác có ba cạnh $s-a,s-b,s-c$. Lặp lại quá trình cho đến khi không thể dựng tam giác với các độ dài nhận được. Với những tam giác ban đầu nào, quá trình có thể lặp vô hạn?
Trong đường tròn $C$ tâm $O$, bán kính $r$, cho hai đường tròn $C_1,C_2$ có tâm $O_1,O_2$ và bán kính $r_1,r_2$. Mỗi $C_i$ tiếp xúc trong với $C$ tại $A_i$; hai đường tròn $C_1,C_2$ tiếp xúc ngoài tại $A$. Chứng minh ba đường thẳng $OA,O_1A_2,O_2A_1$ đồng quy.
Bổ sung điều kiện do AI biên tập: giả sử $A\ne O$ để đường thẳng $OA$ được xác định. Đề in thiếu điều kiện này; cấu hình ngoại lệ được giải thích ở dưới.
Cho số nguyên $n\gt 3$. Chọn ba số trong $\{1,2,\ldots,n\}$. Dùng mỗi số đã chọn đúng một lần cùng các phép cộng, nhân và dấu ngoặc để lập mọi biểu thức có thể.
(a) Chứng minh nếu cả ba số đều lớn hơn $n/2$ thì các giá trị của những biểu thức này đôi một khác nhau.
(b) Cho số nguyên tố $p\le\sqrt n$. Chứng minh số cách chọn ba số có số nhỏ nhất là $p$ mà các giá trị biểu thức không đôi một khác nhau đúng bằng số ước nguyên dương của $p-1$.
Làm rõ do AI biên tập: các biểu thức chỉ khác nhau do giao hoán hoặc kết hợp được tính là cùng một biểu thức.
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(h,s)$ có tính chất sau. Vẽ $h$ đường thẳng nằm ngang và $s$ đường thẳng khác thỏa mãn: (i) không nằm ngang; (ii) không có hai đường nào trong số $s$ đường ấy song song; (iii) không có ba trong $h+s$ đường đồng quy. Số miền được tạo thành là $1992$.
Hình là một ví dụ nhỏ minh họa các điều kiện về đường thẳng.
Tìm một dãy có độ dài lớn nhất gồm các số nguyên khác không sao cho tổng của bảy số hạng liên tiếp bất kỳ là dương, còn tổng của mười một số hạng liên tiếp bất kỳ là âm.
