Ngân hàng câu hỏi APMO 2005

Chứng minh rằng với mỗi số thực vô tỉ $a$, tồn tại các số thực vô tỉ $b,b'$ sao cho $a+b$ và $ab'$ đều hữu tỉ, còn $ab$ và $a+b'$ đều vô tỉ.

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc=8$. Chứng minh
$$\frac{a^2}{\sqrt{(1+a^3)(1+b^3)}}+\frac{b^2}{\sqrt{(1+b^3)(1+c^3)}}+\frac{c^2}{\sqrt{(1+c^3)(1+a^3)}}\ge\frac43.$$

Chứng minh rằng tồn tại một tam giác có thể chia thành 2005 tam giác bằng nhau.

Một thị trấn có $n\times n$ ngôi nhà, đánh chỉ số $(i,j)$ với $1\le i,j\le n$; nhà $(1,1)$ ở góc trên bên trái, $i,j$ lần lượt là chỉ số hàng và cột. Lúc 0, lửa bắt đầu ở nhà $(1,c)$, trong đó $c\le n/2$. Trong mỗi khoảng thời gian tiếp theo $[t,t+1]$, lính cứu hỏa bảo vệ một nhà chưa cháy, đồng thời lửa lan đến tất cả các nhà kề chưa được bảo vệ của mỗi nhà đã cháy ở thời điểm $t$. Nhà đã được bảo vệ sẽ luôn được bảo vệ. Quá trình kết thúc khi lửa không thể lan thêm. Nhiều nhất có thể cứu được bao nhiêu nhà?

Nhà $(i,j)$ kề nhà $(k,\ell)$ nếu $|i-k|+|j-\ell|=1$.

Trong tam giác $ABC$, các điểm $M,N$ lần lượt thuộc các cạnh $AB,AC$ sao cho $MB=BC=CN$. Gọi $R,r$ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác $ABC$. Biểu diễn tỉ số $MN/BC$ theo $R,r$.