Cho điểm $P$ trong tam giác $ABC$. Gọi $D,E,F$ lần lượt là giao điểm của đường thẳng $AP$ với cạnh $BC$, của đường thẳng $BP$ với cạnh $CA$, và của đường thẳng $CP$ với cạnh $AB$. Chứng minh diện tích tam giác $ABC$ bằng 6 nếu mỗi tam giác $PFA,PDB,PEC$ có diện tích 1.
Mỗi ô của bảng vuông $2012\times2012$ chứa một số thực thuộc $[0,1]$. Chia bảng thành hai hình chữ nhật khác rỗng gồm các ô của bảng bằng một đường song song với cạnh ngang hoặc cạnh dọc. Giả sử với mọi cách chia như vậy, ít nhất một hình chữ nhật có tổng các số không quá 1. Tìm tổng lớn nhất có thể của toàn bộ các số.
Cho tam giác nhọn $ABC$. Gọi $D$ là chân đường vuông góc từ $A$ xuống $BC$, $M$ là trung điểm $BC$, và $H$ là trực tâm. Gọi $E$ là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp $\Gamma$ của $ABC$ với tia $MH$, và $F\ne E$ là giao điểm còn lại của đường thẳng $ED$ với $\Gamma$. Chứng minh
$$\frac{BF}{CF}=\frac{AB}{AC},$$
trong đó $XY$ là độ dài đoạn thẳng $XY$.
Cho số nguyên $n\ge2$. Chứng minh rằng nếu các số thực $a_1,\ldots,a_n$ thỏa mãn $a_1^2+\cdots+a_n^2=n$ thì
$$\sum_{1\le i\lt j\le n}\frac1{n-a_i a_j}\le\frac n2.$$
