Ngân hàng câu hỏi APMO 2000

Tính tổng
$$S=\sum_{i=0}^{101}\frac{x_i^3}{1-3x_i+3x_i^2},\qquad x_i=\frac{i}{101}.$$

Cho các vòng tròn xếp thành tam giác như hình:



Điền mỗi số $1,2,\ldots,9$ vào một vòng tròn, mỗi vòng tròn chứa đúng một số, sao cho
(i) tổng bốn số trên mỗi cạnh tam giác đều bằng nhau;
(ii) tổng bình phương của bốn số trên mỗi cạnh đều bằng nhau.
Tìm tất cả các cách điền.

Cho tam giác $ABC$. Đường trung tuyến và phân giác tại $A$ lần lượt cắt $BC$ tại $M,N$. Đường vuông góc với $NA$ tại $N$ cắt $MA,BA$ lần lượt tại $Q,P$. Đường vuông góc với $BA$ tại $P$ cắt tia $AN$ kéo dài tại $O$. Chứng minh $QO\perp BC$.

Cho các số nguyên dương $n,k$ với $n\gt k$. Chứng minh
$$\frac1{n+1}\frac{n^n}{k^k(n-k)^{n-k}}\lt \frac{n!}{k!(n-k)!}\lt \frac{n^n}{k^k(n-k)^{n-k}}.$$

Cho hoán vị $(a_0,a_1,\ldots,a_n)$ của $0,1,\ldots,n$. Phép đổi chỗ $a_i,a_j$ gọi là hợp lệ nếu $a_i=0$ với $i\gt 0$ và $a_{i-1}+1=a_j$. Hoán vị gọi là chính quy nếu sau một số phép đổi chỗ hợp lệ nó trở thành $(1,2,\ldots,n,0)$. Với những $n$ nào, hoán vị $(1,n,n-1,\ldots,3,2,0)$ là chính quy?