APMO 2021 - Olympic Toán châu Á - Thái Bình Dương

Chứng minh rằng với mỗi số thực $r\gt 2$, có đúng hai hoặc ba số thực dương $x$ thỏa mãn $x^2=r\lfloor x\rfloor$.

Ở đây $\lfloor x\rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$.

Với đa thức $P$ và số nguyên dương $n$, gọi $P_n$ là số cặp số nguyên dương $(a,b)$ có $a\lt b\le n$ sao cho $|P(a)|-|P(b)|$ chia hết cho $n$. Tìm mọi đa thức $P$ có hệ số nguyên thỏa mãn $P_n\le2021$ với mọi số nguyên dương $n$.

Cho tứ giác lồi nội tiếp $ABCD$ có đường tròn ngoại tiếp $\Gamma$. Gọi $E=AC\cap BD$, $L$ là tâm đường tròn tiếp xúc các cạnh $AB,BC,CD$, và $M$ là trung điểm cung $BC$ của $\Gamma$ không chứa $A,D$. Chứng minh tâm đường tròn bàng tiếp đối diện $E$ của tam giác $BCE$ nằm trên $LM$.

Trên bảng $32\times32$, một con chuột bắt đầu ở ô góc dưới bên trái, hướng lên trên; đặt các miếng phô mai ở một số ô khác. Chuột đi thẳng; khi gặp phô mai, nó ăn một phần, rẽ phải rồi tiếp tục. Tập các ô có phô mai được gọi là tốt nếu chuột nếm mỗi miếng đúng một lần rồi ra khỏi bảng. Chứng minh:
(a) không có tập tốt gồm $888$ ô;
(b) có tập tốt gồm ít nhất $666$ ô.

Tìm mọi hàm số $f:\mathbb Z\to\mathbb Z$ sao cho $f(f(a)-b)+b f(2a)$ là số chính phương với mọi số nguyên $a,b$.