Cho tam giác nhọn $ABC$. Điểm $D$ thuộc cạnh $AB$, điểm $E$ thuộc cạnh $AC$ sao cho $BC\parallel DE$. Điểm $X$ nằm trong tứ giác $BCED$. Các tia $DX$, $EX$ lần lượt cắt cạnh $BC$ tại $P,Q$, đều nằm giữa $B,C$. Hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác $BQX$ và $CPX$ cắt nhau tại $Y\ne X$. Chứng minh $A,X,Y$ thẳng hàng.
Xét bảng $100\times100$, ô ở hàng $a$, cột $b$ được ký hiệu $(a,b)$, với $1\le a,b\le100$. Cho số nguyên $51\le k\le99$. Quân mã-$k$ đi một ô theo phương dọc hoặc ngang và $k$ ô theo phương còn lại: từ $(a,b)$ tới $(c,d)$ với $(|a-c|,|b-d|)$ bằng $(1,k)$ hoặc $(k,1)$. Nó xuất phát từ $(1,1)$ và thực hiện một số nước đi. Một dãy nước đi là dãy $(x_0,y_0)=(1,1),(x_1,y_1),\ldots,(x_n,y_n)$ sao cho mọi ô nằm trong bảng và mỗi cặp liên tiếp là một nước hợp lệ. Mỗi ô được đi đến gọi là đạt được. Với mỗi $k$, tìm số ô đạt được $L(k)$.
Cho số nguyên dương $n$ và các số thực dương $a_1,a_2,\ldots,a_n$. Chứng minh
$$\sum_{i=1}^n\frac1{2^i}\left(\frac2{1+a_i}\right)^{2^i}\ge\frac2{1+a_1a_2\cdots a_n}-\frac1{2^n}.$$
Chứng minh với mỗi số nguyên dương $t$, tồn tại duy nhất một hoán vị $a_0,a_1,\ldots,a_{t-1}$ của $0,1,\ldots,t-1$ sao cho với mọi $0\le i\le t-1$, hệ số nhị thức
$$\binom{t+i}{2a_i}$$
là số lẻ và $2a_i\ne t+i$.
Đường thẳng $\ell$ cắt các cạnh $BC,AD$ của tứ giác nội tiếp $ABCD$ tại các điểm trong $R,S$ tương ứng, cắt tia $DC$ ở phía ngoài $C$ tại $Q$, và cắt tia $BA$ ở phía ngoài $A$ tại $P$. Các đường tròn ngoại tiếp $QCR,QDS$ cắt nhau tại $N\ne Q$; các đường tròn ngoại tiếp $PAS,PBR$ cắt nhau tại $M\ne P$. Gọi $X=MP\cap NQ$, $K=AB\cap CD$, $L=BC\cap AD$. Chứng minh $X$ thuộc $KL$.
Hình cấu hình do AI dựng (không vẽ thêm đường $KL$):
